\(P(X\leq a+bY)\)
Ciao, amici! Il mio testo chiede di dimostrare che, chiamate $F_X$ la funzione di ripartizione della variabile aleatoria $X$ e $f_Y$ la funzione di densità della variabile aleatoria $Y$, si ha\[P(X+Y\leq a)=\int_{-\infty}^{\infty}F_X(a-y)f_Y(y)\text{d}y\]\[P(X\leq Y)=\int_{-\infty}^{\infty}F_X(y)f_Y(y)\text{d}y\]ma, nonostante non credevo che fosse difficile data la scarsa difficoltà degli esercizi teorici proposti finora dal mio libro, non mi riesce di dimostrarlo...
Presumo che addirittura si possa (o no?
) generalizzare un poco la cosa, chiamando $f$ la densità congiunta, dicendo che $P(X\leq a+bY)=\int_{-\infty}^{\infty}F_X(a+by)f_Y(y)\text{d}y=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}P(X\leq a+by)f(x,y)\text{d}x\text{d}y$, ugualianza che, se valesse, implicherebbe anche le due uguaglianze meno generali del mio libro, ma non saprei come dimostrarlo...
Direi proprio che, nell'ordine di integrazione che ho scritto, vale l'uguaglianza $P(X\leq a+by)=\int_{-\infty}^{a+by}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\text{d}y\text{d}x$, ma non vedo come utilizzare questa cosa, se a qualcosa servisse...
Qualcuno ha qualche suggerimento?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Presumo che addirittura si possa (o no?
) generalizzare un poco la cosa, chiamando $f$ la densità congiunta, dicendo che $P(X\leq a+bY)=\int_{-\infty}^{\infty}F_X(a+by)f_Y(y)\text{d}y=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}P(X\leq a+by)f(x,y)\text{d}x\text{d}y$, ugualianza che, se valesse, implicherebbe anche le due uguaglianze meno generali del mio libro, ma non saprei come dimostrarlo...Direi proprio che, nell'ordine di integrazione che ho scritto, vale l'uguaglianza $P(X\leq a+by)=\int_{-\infty}^{a+by}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\text{d}y\text{d}x$, ma non vedo come utilizzare questa cosa, se a qualcosa servisse...
Qualcuno ha qualche suggerimento?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
\[P(X\leq Y)= \int_{\{ y \ge x \}} f(x,y) dx dy = \int_{- \infty}^{+ \infty} \left ( \int_{- \infty}^{y} f(x,y) dx \right ) dy \]
D'altra parte
\[\int_{-\infty}^{\infty}F_X(y)f_Y(y)\text{d}y = \int_{-\infty}^{+ \infty} \left ( \int_{-\infty}^{y} f_X(x) dx \right ) f_Y(y) dy =
\int_{-\infty}^{+ \infty} \left ( \int_{-\infty}^{y} f_X(x) f_Y(y) \; dx \right ) dy \]
Se non ho sbagliato e se le v.a. $X,Y$ sono indipendenti, $f_X \cdot f_Y = f$ e la tesi è raggiunta.
D'altra parte
\[\int_{-\infty}^{\infty}F_X(y)f_Y(y)\text{d}y = \int_{-\infty}^{+ \infty} \left ( \int_{-\infty}^{y} f_X(x) dx \right ) f_Y(y) dy =
\int_{-\infty}^{+ \infty} \left ( \int_{-\infty}^{y} f_X(x) f_Y(y) \; dx \right ) dy \]
Se non ho sbagliato e se le v.a. $X,Y$ sono indipendenti, $f_X \cdot f_Y = f$ e la tesi è raggiunta.
Grazie di cuore, Seneca!!! Il mio testo non dice però che $X$ e $Y$ debbano essere indipendenti... Varrà lo stesso l'uguaglianza?
Diciamo che, non conoscendo alcuna relazione che lega le due variabili aleatorie, queste si possono supporre indipendenti, CREDO.
Per conferma, comunque, ti consiglio di attendere qualcuno più preparato di me in materia.
Per conferma, comunque, ti consiglio di attendere qualcuno più preparato di me in materia.
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