Provare che un processo stocastico è senza memoria
Salve a tutti, ho un quesito intuitivamente semplice ma che mi da noia matematicamente. Dato il processo stocastico
\begin{equation}
x_t = \frac{u_t}{\sum_{s=1}^{t-1} u_s}
\end{equation}
dove $u_t \overset{i.i.d.}{~} \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ e $\sigma^2<\infty$, voglio dimostrare che $x_t$ non ha memoria. La definizione di memoria dovrebbe riferirsi alla proprietà di Markov, ma se pensate che il problema vada approcciato in maniera differente sono aperto ad alternative.
Intuitivamente mi sembra vero, poiché a numeratore ho un white noise e a denominatore una somma di white noise iid (che è ancora white noise). Come potrei mostrarlo matematicamente? Grazie.
\begin{equation}
x_t = \frac{u_t}{\sum_{s=1}^{t-1} u_s}
\end{equation}
dove $u_t \overset{i.i.d.}{~} \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ e $\sigma^2<\infty$, voglio dimostrare che $x_t$ non ha memoria. La definizione di memoria dovrebbe riferirsi alla proprietà di Markov, ma se pensate che il problema vada approcciato in maniera differente sono aperto ad alternative.
Intuitivamente mi sembra vero, poiché a numeratore ho un white noise e a denominatore una somma di white noise iid (che è ancora white noise). Come potrei mostrarlo matematicamente? Grazie.
Risposte
"Chiò":
\begin{equation}
x_t = \frac{u_t}{\sum_{s=1}^{t-1} u_s}
\end{equation}
E $x_1$?
Se intendi dire il valore della prima osservazione essa non è disponibile (è pari ad un NA) perché il processo è definito come $(\Delta R)/R$, dove R è un random walk.
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