Prova di ipotesi su distribuzione Beta
Eccolo ne ho trovato uno che avevo già svolto senza riuscire a finirlo!
Sia $X_1, X_2, ..., X_n$ un campione da una distribuzione di densità $f(x)=thetax^(theta-1)I_[(0;1)](x)$
con $theta\geq2$
a) costruire il test UMP di livello $alpha$ per la verifica delle ipotesi
$H_0 : theta=2$ vs $H_1 : theta=theta_1$ con $theta_1\geq2$
b) costruire il test UMP di livello $alpha$ per la verifica delle ipotesi
$H_0 : theta=2$ vs $H_1 : theta\geq2$
Soluzione:
a) essendo ipotesi semplici posso usare il lemma di Neyman-Pearson:
$(L(theta_1;x))/(L(2;x))\geqk$
con $L(theta_1;x)=theta_1^n\prod(x_i)^(theta_1-1)$
e $L(2;x)=2^n\prod(x_i)$
da cui $(theta_1/2)^n\prod(x_i)^(theta_1-2)\geqk$
se non ho sbagliato i calcoli passando al logaritmo, questo comporta $sum(ln(x_i))\geq((ln(k)-nln(theta_1)+nln(2))/(theta_1-2))=K$
ora dovrei imporre $P(sum(ln(x_i))\geqK|H_0)=alpha$ giusto?
Come posso calcolare questa probabilità? ho pensato anche di introdurre una $Y=ln(X)$ ma ho comunque $P(sum(Y)\geqK|H_0)$ e non so come trattare quella sommatoria...
Sia $X_1, X_2, ..., X_n$ un campione da una distribuzione di densità $f(x)=thetax^(theta-1)I_[(0;1)](x)$
con $theta\geq2$
a) costruire il test UMP di livello $alpha$ per la verifica delle ipotesi
$H_0 : theta=2$ vs $H_1 : theta=theta_1$ con $theta_1\geq2$
b) costruire il test UMP di livello $alpha$ per la verifica delle ipotesi
$H_0 : theta=2$ vs $H_1 : theta\geq2$
Soluzione:
a) essendo ipotesi semplici posso usare il lemma di Neyman-Pearson:
$(L(theta_1;x))/(L(2;x))\geqk$
con $L(theta_1;x)=theta_1^n\prod(x_i)^(theta_1-1)$
e $L(2;x)=2^n\prod(x_i)$
da cui $(theta_1/2)^n\prod(x_i)^(theta_1-2)\geqk$
se non ho sbagliato i calcoli passando al logaritmo, questo comporta $sum(ln(x_i))\geq((ln(k)-nln(theta_1)+nln(2))/(theta_1-2))=K$
ora dovrei imporre $P(sum(ln(x_i))\geqK|H_0)=alpha$ giusto?
Come posso calcolare questa probabilità? ho pensato anche di introdurre una $Y=ln(X)$ ma ho comunque $P(sum(Y)\geqK|H_0)$ e non so come trattare quella sommatoria...
Risposte
Sì è giusto. Anche senza fare conti ma semplicemente fattorizzando il lemma di Neyman-Pearson si vede subito che la statistica da usare per il test è lo stimatore sufficiente: $sum_i logX_i$. Il lemma ti serve solo per trovare il verso della disuguaglianza.
Per la distribuzione della statistica test, osserva che:
$Y=-logX~Exp(theta)=Gamma(1,theta)$ e quindi
$SigmaY~Gamma(n,theta)$
Inoltre $2thetaSigmaY~chi_((2n))^2$
E di conseguenza puoi calcolare qualunque probabilità (e quindi anche qualunque regola di decisione) con le tavole della chi-quadro.
Per il caso di ipotesi composte non è necessario usare il rapporto di verosimiglianza generalizzato perché la distribuzione appartiene alla famiglia esponenziale e l'ipotesi alternativa è unilaterale: c'è un noto teorema che ti dà già la Regione critica .
^^^^^^^^^^^^^^^^^
Ps: Come da titolo, è un esercizio di prova di ipotesi su una particolare distribuzione Beta
$"Beta"(theta,1)=(Gamma(theta+1))/(Gamma(theta)Gamma
(1))x^(theta-1)(1-x)^(1-1)=(theta!)/((theta-1)!)x^(theta-1)=theta x^(theta-1)$
Inoltre, un dettaglio (ma non troppo). Se l'ipotesi $H_0=theta $ allora $H_1$ non può essere $H_1>=theta $: i due spazi campionari devono essere disgiunti....quindi $H_1>theta$
Ciao
Per la distribuzione della statistica test, osserva che:
$Y=-logX~Exp(theta)=Gamma(1,theta)$ e quindi
$SigmaY~Gamma(n,theta)$
Inoltre $2thetaSigmaY~chi_((2n))^2$
E di conseguenza puoi calcolare qualunque probabilità (e quindi anche qualunque regola di decisione) con le tavole della chi-quadro.
Per il caso di ipotesi composte non è necessario usare il rapporto di verosimiglianza generalizzato perché la distribuzione appartiene alla famiglia esponenziale e l'ipotesi alternativa è unilaterale: c'è un noto teorema che ti dà già la Regione critica .
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Ps: Come da titolo, è un esercizio di prova di ipotesi su una particolare distribuzione Beta
$"Beta"(theta,1)=(Gamma(theta+1))/(Gamma(theta)Gamma
(1))x^(theta-1)(1-x)^(1-1)=(theta!)/((theta-1)!)x^(theta-1)=theta x^(theta-1)$
Inoltre, un dettaglio (ma non troppo). Se l'ipotesi $H_0=theta $ allora $H_1$ non può essere $H_1>=theta $: i due spazi campionari devono essere disgiunti....quindi $H_1>theta$
Ciao
Dopo due giorni senza internet finalmente sono riuscito a riconnetterti e guardare la risposta!
Quale sarebbe questo teorema e come dovrei applicarlo in questo caso? io conosco solo il lemma di Neyman Pearson per ipotesi semplici..
"tommik":
Per il caso di ipotesi composte non è necessario usare il rapporto di verosimiglianza generalizzato perché la distribuzione appartiene alla famiglia esponenziale e l'ipotesi alternativa è unilaterale: c'è un noto teorema che ti dà già la Regione critica .
o
Quale sarebbe questo teorema e come dovrei applicarlo in questo caso? io conosco solo il lemma di Neyman Pearson per ipotesi semplici..
Lo puoi trovare dovunque... te lo riassumo brevemente:
Sia $X_1,...,X_n$ un campione casuale da $f$
Sia $f$ una densità $in$ famiglia esponenziale, ovvero del tipo
$f(x, theta)=Exp{a(theta)+b(x)+c(theta)d(x)}$
Poniamo $t=sum_i d(x_i)$
Allora
1) se $c(theta )$ è crescente e l'ipotesi alternativa è $H_1:theta >theta_0$ l'UMP test è
$P{t>k|H_0}=alpha$
2) se c è decrescente si inverte la disuguaglianza della regione critica .
3) se il verso di $H_1$ è opposto si inverte il verso della disuguaglianza della regione critica.
Nel tuo caso hai
$f(x, theta)=Exp{log(theta)+(theta-1)logx}$
$(theta-1)$ è crescente
$H_1: theta>theta_0$
Quindi la Regione critica è, anche qui,
$P{sum_i log(x_i)>k|theta _0}=alpha$
E puoi calcolare la probabilità come ti ho illustrato: o con l'integrale della Gamma o con le tavole della chi quadro.
Se invece l'ipotesi alternativa è bilaterale devi fare tutti i conti con il rapporto di verosimiglianza generalizzato
Se invece la densità non appartiene alla famiglia esponenziale (es. la uniforme ) devi usare un altro teorema: il test basato sul rapporto di verosimiglianza monotono.
Ciao.
Sia $X_1,...,X_n$ un campione casuale da $f$
Sia $f$ una densità $in$ famiglia esponenziale, ovvero del tipo
$f(x, theta)=Exp{a(theta)+b(x)+c(theta)d(x)}$
Poniamo $t=sum_i d(x_i)$
Allora
1) se $c(theta )$ è crescente e l'ipotesi alternativa è $H_1:theta >theta_0$ l'UMP test è
$P{t>k|H_0}=alpha$
2) se c è decrescente si inverte la disuguaglianza della regione critica .
3) se il verso di $H_1$ è opposto si inverte il verso della disuguaglianza della regione critica.
Nel tuo caso hai
$f(x, theta)=Exp{log(theta)+(theta-1)logx}$
$(theta-1)$ è crescente
$H_1: theta>theta_0$
Quindi la Regione critica è, anche qui,
$P{sum_i log(x_i)>k|theta _0}=alpha$
E puoi calcolare la probabilità come ti ho illustrato: o con l'integrale della Gamma o con le tavole della chi quadro.
Se invece l'ipotesi alternativa è bilaterale devi fare tutti i conti con il rapporto di verosimiglianza generalizzato
Se invece la densità non appartiene alla famiglia esponenziale (es. la uniforme ) devi usare un altro teorema: il test basato sul rapporto di verosimiglianza monotono.
Ciao.
Perfetto credo di aver capito il procedimento.
Ultima domanda: ma quindi in questo esercizio i due test sarebbero identici e devo solo giustificarlo scrivendo il procedimento che hai scritto tu poi tanto arrivo alla stessa probabilità?
Ultima domanda: ma quindi in questo esercizio i due test sarebbero identici e devo solo giustificarlo scrivendo il procedimento che hai scritto tu poi tanto arrivo alla stessa probabilità?
...intendevo dire che comunque al termine dei due diversi procedimenti, la regione critica dei due test è la medesima..
Grazie ancora
Grazie ancora
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