Proprietà probabilità

[franchinho]

Buongiorno. Ho cercato di dimostrare e risolvere questo esercizio sulle proprietà della probabilità. Ma sono sono sicuro. Vi chiedo di aiutarmi a capire se si poteva svolgere meglio, perché ho fatto delle assunzioni che nel testo dell'esercizio non sono presenti e quindi potrebbe esserci (forse) una risoluzione migliore. Grazie


Siano $A$ e $B$ eventi in $(\Omega ,\mathcal{F},P)$. Quale affermazione è vera?
- $1-P(B)=P(A)+P(A^c)$;
- $P(AnnB)>=P(B)$;
-$P(B)=P(B|A)P(A^c)+P(B|A^c)P(A)$;
-$P(A)=(P(B|A)P(A))/(P(B))$;
-nessuna delle altre risposte.
La tripletta $ (\ Omega, \ mathcal {} F, P) $ è uno spazio di probabilità.
Si compone di tre parti:
Uno spazio campione, $ \ Omega $, che è l'insieme di tutti i risultati possibili.
Una serie di eventi $ \ mathcal {f} $, in cui ogni evento è un insieme contenente zero o più risultati.
L'assegnazione di probabilità agli eventi; cioè, una funzione $ P $ da eventi a probabilità.


Soluzione:
Opzione 1: $1-P(B)=P(A)+P(A^c)$
$P(A)+P(A^c)=1$; per somma: $1=1-P(B)rArr P(B)=0$.

Opzione 2: $P(AnnB)=P(A)+P(B)-P(AuuB)=P(B)+[P(A)-P(AnnB)]$.
$P(AnnB)>= P(A)rArr P(A)-P(AnnB)<= 0$.
$P(AnnB)<=P(B)$.

Opzione 3:
$P(B)=P(AnnB)+P(A^cnnB)=P(B|A)*P(A)+P(B|A^c)*P(A^c)$.
Per somma: $P(B)=P(B|A)*P(A^c)+P(B|A^c)*P(A)rArrP(B|A)*((P(A)-P(A^c))=P(B|A)*(P(A)-P(A^c))$.
Se $P(A)=P(A^c)$, allora è vera.
Se $P(A)!=P(A^c)$, $P(B)=0$ o altrimenti $P(B|A^c)=1$; $P(B|A)=1rArrP(A)=P(A^c)rArr$ contraddizione, così questa non è neanche un'affermazione generale.

Opzione 4:
$P(A)=(P(B|A)P(A))/(P(B))$, se $P(A)=0$, l'uguaglianza è vera; altrimenti: $P(B)=P(B|A)rArr$ $A$ e $B$ sono eventi indipendenti.

Quindi la risposta dovrebbe essere: "Nessuna della altre".

[bassi0902]

La 1) é corretta solamente se $P(B) = 0$, della 2) non si puó dire niente se non si sa qualcosa di piú sugli eventi $A$ e $B$.
La 4) é corretta solamente se $A$ e $B$ sono eventi indipendenti, in quel caso si ha $ P(B | A) = P(B) $ e si semplifica col denominatore e ottieni l'uguaglianza (banale) $P(A) = P(A)$.
La 3) come hai detto tu vale solo se $P(A) = P(A^C) = 1/2$.

Quindi sono d'accordo con te che la risposta corretta é "nessuna delle risposte"