Proprietà Power Series Distribution

[ziobanana1]

Sia $X\sim BN(r,p)$ e $Y\simbeta(k,r)$ dimostrare che $P(X>=k)=Pr(Y<=p)$

Ecco quello che pensavo di fare:
$Pr(Y<=p)= \sum_{j=k}^infty((r+j-1),(r-1)) (1-p)^r p^j$

$Pr(Y<=p)=\sum_{j=k}^infty((r+j-1),(r-1))d/{dp}( (1-p)^r p^j)$
$Pr(Y<=p)=-\sum_{j=k}^infty((r+j-1),(r-1))r (1-p)^{r-1}p^j+\sum_{j=k}^infty((r+j-1),(r-1))j(1-p)^rp^{j-1}$
dopodichè non so più come proseguire.
Dovrei usare la proprietà della funzione beta legata alla funzione gamma $beta(k,r)= {Gamma(k+r)}/{Gamma(k)Gamma(r)}$ ma come??????

[frapippo1]

Ciao. Prova così:
$Pr(Y<=p)=1/{B(k,r)}\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1} du={Gamma(k+r)}/{Gamma(k)Gamma(r)}\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1} du=$
$={(k+r-1)!}/{(k-1)!(r-1)!}\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1} du$

$Pr(X>=k)=\sum_{j=k}^{infty}((r+j-1),(r-1))(1-p)^rp^j=[{(r+k-1)!}/{k!(r-1)!}(1-p)^rp^k+{(r+k)!}/{(k+1)!(r-1)!}(1-p)^rp^{k+1}+...]=$
$={(r+k-1)!}/{(k-1)!(r-1)!}[{(1-p)^rp^k}/k+{r+k}/{k(k+1)}(1-p)^rp^{k+1}+..]$

A questo punto (se i calcoli precedenti sono fatti bene: controllali!), non ti resta che mostrare che:
$\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1} du=[{(1-p)^rp^k}/k+{r+k}/{k(k+1)}(1-p)^rp^{k+1}+..]$, usando l'integrazione per parti.

C'è qualcosa però che non mi torna, cioè applicando l'integrazione per parti hai:
$\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1} du={u^k(1-u)^{r-1}}/k|_0^{p}+\int_{0}^{p}u^k(1-u)^{r-2}(r-1)/k={p^k(1-p)^{r-1}}/k+\int_{0}^{p}u^k(1-u)^{r-2}(r-1)/k$,
quando invece $(1-p)$ dovrebbe avere come esponente $r$ e non $r-1$. Comunque, ricontrolla tutti i calcoli e il testo dell'esercizio, per vedere se c'è qualche errore.

[ziobanana1]

Ciao. Scusa ma mi son dimenticato di specificare che l'esercizio impone la risoluzione tramite la derivazione.

[ziobanana1]

Comunque ho controllato i calcoli degli integrali e non vedo Invece tramite derivazione dovrei arrivare ad un risultato simile:

${Gamma(k+r)}/{Gamma(k)Gamma(r)} p^{k}(1-p)^{r-1}+......-.....$ in modo da semplificarsi. Non riesco però a capire il nesso.

[frapippo1]

Torno sul mio ragionamento. Questo è ok:

"frapippo":Ciao. Prova così:
$Pr(Y<=p)=1/{B(k,r)}\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1} du={Gamma(k+r)}/{Gamma(k)Gamma(r)}\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1} du=$
$={(k+r-1)!}/{(k-1)!(r-1)!}\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1} du$

Su wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_b ... stribution ho trovato che:
$Pr(X>=k)=I_p(k,r)=sum_{j=k}^{k+r-1}{(k+r-1)!}/{j!(k+r-1-j)!}p^j(1-p)^{k+r-1-j}=$
$={(k+r-1)!}/{(k-1)!(r-1)!}[{p^k(1-p)^{r-1}}/k+{p^{k+1}(1-p)^{r-2}(r-1)}/{(k+1)k}+..+{p^{k+r-1}(r-1)!}/{(k+r-1)(k+r-2)..k}]$
Dato che (integrazione per parti):
$\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1}du={p^k(1-p)^(r-1)}/k+{r-1}/k\int_{0}^{p}u^{k}(1-u)^{r-2}du=$
$={p^k(1-p)^(r-1)}/k+{p^{k+1}(1-p)^{r-2}(r-1)}/{(k+1)k}+{(r-1)(r-2)}/{(k+1)k}\int_{0}^{p}u^{k+1}(1-u)^{r-3}du=$
$=...={p^k(1-p)^{r-1}}/k+{p^{k+1}(1-p)^{r-2}(r-1)}/{(k+1)k}+..+{p^{k+r-1}(r-1)!}/{(k+r-1)(k+r-2)..k}$
l'esercizio è risolto.

Non ho ben capito però da un punto di vista matematico perché $Pr(X>=k)=I_p(k,r)$ (a tal proposito ho aperto un post in "Analisi Matematica" uguaglianza-tra-due-sommatorie-t83991.html, cui spero qualcuno risponderà).

@ziobanana: non vedo come la derivazione possa aiutarti..

[ziobanana1]

Grazie per la risoluzione. C'è solo una cosa che non mi è chiara:
come arrivi ad avere l'ultimo termine $....+{p^{k+r-1}(r-1)!}/{(k+r-1)(k+r-2)...k}$???

[frapippo1]

Per capirlo, fissa $r=1$, poi $r=2$, poi $r=3$, $r=4$ e risolvi per ognuno di questi $r$
$\int_{0}^{p}u^{k-1}(1-u)^{r-1}du$

La generalizzazione poi è automatica.

[ziobanana1]

Mi diresti in che settore di Wikipedia hai trovato l'uguaglianza Pr(X>=k)=Ip

[frapippo1]

4.1 Cumulative distribution function.
Ti viene detto che $Pr(X<=k)=1-I_p(k+1,r)$. Allora, $Pr(X<=k-1)=1-I_p(k,r)$, ma $Pr(X>=k)=1-Pr(X<=k-1)$.
Ciao.