Proprietà di uno stimatore
Ciao a tutti, riposto qui un esercizio di Econometria che avevo inzialmente postato in Mat per l'economia, ma che in effetti è molto più appropriato sia messo qui.
Ciao a tutti, un esercizio di econometria mi chiede
dato il modello
$ y_i=βx_i + ε_i$ con $E[ε_i|x_i]=0$ ed $E[(ε_i)^2|x_i]=(σ)^2$
si consideri lo stimatore $hat (β)=(sum y_i) / (sum x_i) $ [size=85](per comodità tralascio gli indici di sommatoria, che dove non diversamente specificato sono da intendersi da i=1 a n)[/size]
i) Verificare se lo stimatore è corretto - Verificabile facilmente sostituendo y_i con il modello e calcolando i valori attesi condizionali
ii) Calcolare la varianza dello stimatore - Poichè per la linearità del modello gli $ε_i$ sono tra loro incorrelati la varianza a me viene: $ n((σ)^2)/(sum x_i)^2$ potete dirmi se questo risultato è corretto?
iii) Valutare l'efficienza rispetto allo stimatore degli MQO che per questo modello è $Var(bar (β))=((σ)^2)/(sum (x_i)^2)$
Per il teorema di Gauss-Markov lo stimatore degli MQO è ottimale, cioè ha varianza minima tra tutti gli stimatori corretti.
Quindi deve essere vero che $Var(hat (β))\geq Var(bar(β))$ cioè $ n((σ)^2)/(sum x_i)^2 \geq ((σ)^2)/(sum (x_i)^2)$ cosa che però non riesco a dimostrare, anche perchè "a occhio" il quadrato della sommatoria, tranne che per $n=1$, è sempre più grande della somma dei quadrati, e non penso che il moltiplicatore n possa avere un qualche impatto...quindi immagino ci sia un errore nel calcolo della varianza, potete aiutarmi?
Ciao a tutti, un esercizio di econometria mi chiede
dato il modello
$ y_i=βx_i + ε_i$ con $E[ε_i|x_i]=0$ ed $E[(ε_i)^2|x_i]=(σ)^2$
si consideri lo stimatore $hat (β)=(sum y_i) / (sum x_i) $ [size=85](per comodità tralascio gli indici di sommatoria, che dove non diversamente specificato sono da intendersi da i=1 a n)[/size]
i) Verificare se lo stimatore è corretto - Verificabile facilmente sostituendo y_i con il modello e calcolando i valori attesi condizionali
ii) Calcolare la varianza dello stimatore - Poichè per la linearità del modello gli $ε_i$ sono tra loro incorrelati la varianza a me viene: $ n((σ)^2)/(sum x_i)^2$ potete dirmi se questo risultato è corretto?
iii) Valutare l'efficienza rispetto allo stimatore degli MQO che per questo modello è $Var(bar (β))=((σ)^2)/(sum (x_i)^2)$
Per il teorema di Gauss-Markov lo stimatore degli MQO è ottimale, cioè ha varianza minima tra tutti gli stimatori corretti.
Quindi deve essere vero che $Var(hat (β))\geq Var(bar(β))$ cioè $ n((σ)^2)/(sum x_i)^2 \geq ((σ)^2)/(sum (x_i)^2)$ cosa che però non riesco a dimostrare, anche perchè "a occhio" il quadrato della sommatoria, tranne che per $n=1$, è sempre più grande della somma dei quadrati, e non penso che il moltiplicatore n possa avere un qualche impatto...quindi immagino ci sia un errore nel calcolo della varianza, potete aiutarmi?
Risposte
Potrebbe svolgersi così: εβσ
$ n(σ)^2/(n bar (x))^2 \geq (σ)^2/(sum (x_i)^2) $
semplificando e passando ai reciproci
$ sum (x_i)^2 \geq n(bar (x))^2 $
ora dividendo per $n$ e spostando a sinistra tutto ho la formula della varianza:
$ (sum (x_i)^2)/n - (bar (x))^2 \geq 0 $ ovvero $ sum(x_i -bar(x))^2 \geq 0$ che è sempre vera, dimostrando così che la varianza dello stimatore proposto è superiore o uguale a quella dello stimatore degli MQO.
Qualcuno può dirmi se non ho scritto delle castronerie?
PS: scusate per i colori flash
$ n(σ)^2/(n bar (x))^2 \geq (σ)^2/(sum (x_i)^2) $
semplificando e passando ai reciproci
$ sum (x_i)^2 \geq n(bar (x))^2 $
ora dividendo per $n$ e spostando a sinistra tutto ho la formula della varianza:
$ (sum (x_i)^2)/n - (bar (x))^2 \geq 0 $ ovvero $ sum(x_i -bar(x))^2 \geq 0$ che è sempre vera, dimostrando così che la varianza dello stimatore proposto è superiore o uguale a quella dello stimatore degli MQO.
Qualcuno può dirmi se non ho scritto delle castronerie?
PS: scusate per i colori flash
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