Proprietà di invarianza delo stimatore di maxverosomiglianza
Ciao ragazzi, avrei dei dubbi riguardo a questa proprietà la quale afferma che Se t(°) è una funzione invertibile, lo stimatore di massima verosomiglianza di t(θ) è T(θ^)=>teta grande cappuccio.
Prima di tutto vorrei capire cosa intende per funzione invertibile e sarei grato se qualcuno mi facesse un semplice e chiaro esempio sull'utilizzo di questa proprietà.
Prima di tutto vorrei capire cosa intende per funzione invertibile e sarei grato se qualcuno mi facesse un semplice e chiaro esempio sull'utilizzo di questa proprietà.
Risposte
Considera una funzione $f$ che va da $A$ in $B$,
la sua funzione inversa, se esiste, è una funzione $f^(-1)$ che va da $B$ in $A$ tale che $f(f^(-1)(y))=y$.
Come ti ho scritto non sempre esiste e molto dipende da come definisci domino e codominio della funzione ($A$ e $B$).
In particolare l'esistenza della funzione inversa è legata alla suriettività ed iniettività della funzione (se sono entrambe verificate si dice che la funzione è biettiva).
Per suriettività si intende che per ogni punto del codominio ($y$) esiste almeno un punto del dominio (x) che ha immagine uguale a $y$
$forall y in B \quad EE text( almeno un ) x in A \quad : \quad f(x)=y$; questo vuol dire che l'immagine coincide con il codominio.
Per iniettività si intende che per ogni punto dell'immagine ($y$) esiste un solo punto del dominio tale che ha immagine in $y$
$forall y in Im_f \quad EE text( uno solo ) x in A \quad : \quad f(x)=y$
Se tu combini queste due hai che ogni punto del codominio è raggiunto da uno e uno soltanto punto del dominio.
Quindi puoi invertirla
Ti faccio due esempi:
Considera $f$ da $RR$ in $RR$, descritta come $y=f(x)=ax+b$ con $a!=0$ questa è una funzione biettiva ed hai che
$x=f^(-1)(y)=(y-b)/a$. Ovviamento il dominio di $f$ è il codominio di $f^(-1)$, il codominio di $f$ è il dominio di $f^(-1)$.
Un altro esempio è $f(x)=x^2$. Per questa funzione la sua invertibilità dipende da come definisci dominio e codominio.
La funzione in senso assoluto è definita su tutto $RR$ e la sua immagine (dove assume valori) è $[0,+infty)$.
Se tu la definisci da $RR$ in $RR$ non è ne iniettiva ne suriettiva, perchè?
La prima perchè esiste un punto dell'immagine che è raggiunto da più valori del dominio (ad esempio $4$ puo venire sia da $2^2$ che da $(-2)^2$).
La suriettività perchè esistono punti del codominio che non sono raggiunti (ad esempio $-4$).
Se cambi il codominio in $[0,+infty)$ dai suriettività alla funzione.
Per dare iniettività devi cambiare il dominio; prendi ad esempio prendi $[0,+infty)$.
Quindi se consideri $f(x)=x^2$ con dominio $[0,+infty)$ e codominio $[0,+infty)$ hai una funzione biettiva
la cui inversa è $f^(-1)(y)=sqrt(y)$.
Fai attenzione che quindi c'è da fare un ragionamento integrato dominio codominio.
Veniamo al problema di verosimiglianza:
qua hai che se $hat theta$ è St di MV di $theta$ e $T(.)$ è una funzione invertibile
allora $T(hat theta)$ e St. di MV di $T(theta)$.
Un esempio classico è questo:
considera un campione casuale $(X_1,...,X_n)$ $i.i.d.$ provenienti da esponenziali di parametro $theta>0$.
Lo St. di MV è $hat theta=n/(sum_(i=1)^n X_i)$.
Ora considera la funzione $T(theta)=1/theta$ (definita da $(0,+infty)$ in $(0,+infty)$) che è invertibile.
Lo stimatore di $1/theta$ è $1/(hat theta)=1/n sum_(i=1)^n X_i$
la sua funzione inversa, se esiste, è una funzione $f^(-1)$ che va da $B$ in $A$ tale che $f(f^(-1)(y))=y$.
Come ti ho scritto non sempre esiste e molto dipende da come definisci domino e codominio della funzione ($A$ e $B$).
In particolare l'esistenza della funzione inversa è legata alla suriettività ed iniettività della funzione (se sono entrambe verificate si dice che la funzione è biettiva).
Per suriettività si intende che per ogni punto del codominio ($y$) esiste almeno un punto del dominio (x) che ha immagine uguale a $y$
$forall y in B \quad EE text( almeno un ) x in A \quad : \quad f(x)=y$; questo vuol dire che l'immagine coincide con il codominio.
Per iniettività si intende che per ogni punto dell'immagine ($y$) esiste un solo punto del dominio tale che ha immagine in $y$
$forall y in Im_f \quad EE text( uno solo ) x in A \quad : \quad f(x)=y$
Se tu combini queste due hai che ogni punto del codominio è raggiunto da uno e uno soltanto punto del dominio.
Quindi puoi invertirla
Ti faccio due esempi:
Considera $f$ da $RR$ in $RR$, descritta come $y=f(x)=ax+b$ con $a!=0$ questa è una funzione biettiva ed hai che
$x=f^(-1)(y)=(y-b)/a$. Ovviamento il dominio di $f$ è il codominio di $f^(-1)$, il codominio di $f$ è il dominio di $f^(-1)$.
Un altro esempio è $f(x)=x^2$. Per questa funzione la sua invertibilità dipende da come definisci dominio e codominio.
La funzione in senso assoluto è definita su tutto $RR$ e la sua immagine (dove assume valori) è $[0,+infty)$.
Se tu la definisci da $RR$ in $RR$ non è ne iniettiva ne suriettiva, perchè?
La prima perchè esiste un punto dell'immagine che è raggiunto da più valori del dominio (ad esempio $4$ puo venire sia da $2^2$ che da $(-2)^2$).
La suriettività perchè esistono punti del codominio che non sono raggiunti (ad esempio $-4$).
Se cambi il codominio in $[0,+infty)$ dai suriettività alla funzione.
Per dare iniettività devi cambiare il dominio; prendi ad esempio prendi $[0,+infty)$.
Quindi se consideri $f(x)=x^2$ con dominio $[0,+infty)$ e codominio $[0,+infty)$ hai una funzione biettiva
la cui inversa è $f^(-1)(y)=sqrt(y)$.
Fai attenzione che quindi c'è da fare un ragionamento integrato dominio codominio.
Veniamo al problema di verosimiglianza:
qua hai che se $hat theta$ è St di MV di $theta$ e $T(.)$ è una funzione invertibile
allora $T(hat theta)$ e St. di MV di $T(theta)$.
Un esempio classico è questo:
considera un campione casuale $(X_1,...,X_n)$ $i.i.d.$ provenienti da esponenziali di parametro $theta>0$.
Lo St. di MV è $hat theta=n/(sum_(i=1)^n X_i)$.
Ora considera la funzione $T(theta)=1/theta$ (definita da $(0,+infty)$ in $(0,+infty)$) che è invertibile.
Lo stimatore di $1/theta$ è $1/(hat theta)=1/n sum_(i=1)^n X_i$
Grazie mille!Quindi nell'ultimo esempio che fai sostituisco lo stimatore trovato all'interno di teta?Ad esempio de ho una distribuzione di poisson e non conosco il parametro lamda(incognito) applico ad esempio il metodo della MV e trovo che lo stimatore è la media campionaria. quindi lamda(cappuccio)=alla media campionaria. E quindi per trovare il valore(incognito) sostituisco a lamda la media campionaria giusto??
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