Proprietà del valore atteso

[Slashino1]

Salve a tutti, negli appunti del mio professore per la dimostrazione del teorema in oggetto trovo la seguente uguaglianza :
$ P{e}=P{X(e)=x }$ la quale va interpretata come " La probabilità che si verifichi l'evento $e$ è pari alla probabilità che la variabile aleatoria $X$ assuma il valore $x$ ". Ma per la definizione di variabile aleatoria io posso decidere di associare lo stesso $ x in RR $ a due eventi $e_1!=e_2 $ per cui non mi spiego come possa essere verificata l'uguaglianza. Spero qualcuno possa chiarirmi il dubbio...

edit: in generale il mio dubbio, sotto un punto di vista più vasto, è il seguente: e' possibile ricavare la probabilità di un certo evento $e$ in $S$ ( spazio degli eventi ) conoscendo quella di $X(e)$ nel rispettivo codominio ? No! ( ? )

[elgiovo]

E il valore atteso in tutto ciò che c'entra?

Comunque perché dici che non c'è biiezione? Prendi le uscite di un dado: allora avrai S = {esce 1, esce 2, ...}.
Prendi la variabile aleatoria X = valore uscito dal lancio del dado. Allora X appartiene a {1, 2, ecc.}. Non è forse P(X=2) = P(esce 2)?

[Slashino1]

Se suppongo di avere un dado che sulle facce ha i numeri $ 1,2,3,-1,-2,-3 $ e la variabile aleatoria $X$ è tale che al numero sulla faccia i-esima associa $i^2$ . In questo caso non c'è biettività per cui quell'uguaglianza non è vera in generale...$P(e)!=P(X(e)=x)$ se interpreto $e$ come un qualsiasi evento elementare...

[elgiovo]

Ottimo, hai un controesempio e ti sei risposto da solo.