Proposizione sulla "continuità" della probabilità
C'è questa proposizione che non riesco a dimostrare:
Proposizione. Sia $\mathcal{F}$ una $\sigma$-algebra di parti di un insieme $\Omega$ e sia $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0,1]$ semplicemente additiva (per la quale vale cioè l'additività solo nel caso finito) (e tale che $\mathbb{P}(\Omega)=1$). Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:
1) $\mathbb{P}$ è $\sigma$-additiva;
2) se $(B_n)_{n\geq 1}$ è una successione decrescente di insiemi (cioè $B_{n+1}\subseteq B_n$ per ogni $n$) tale che la sua intersezione sia vuota, allora risulta $lim_{n\to oo} \mathbb{P}(B_n)=0$.
Ho dei problemi con la dimostrazione che (2) implica (1).
Considero una famiglia numerabile $(A_n)$ di eventi a due a due disgiunti e voglio provare che
$\mathbb{P}(\cup A_n)=\sum_1^{oo} \mathbb{P}(A_n)$.
Il trucco sarebbe quello di considerare la famiglia di code $B_n=A_n\cup A_{n+1}\cup ...$ che è decrescente e la sua intersezione è vuota, per cui si può applicare (2):
$\mathbb{P}(\cup A_n)=\mathbb{P}(A_1\cup...\cup A_n\cup B_{n+1})=\mathbb{P}(A_1)+...+\mathbb{P}(A_n)+\mathbb{P}(B_{n+1})$
dove nell'ultimo passaggio ho usato l'ipotesi di additività semplice. E poi?
Proposizione. Sia $\mathcal{F}$ una $\sigma$-algebra di parti di un insieme $\Omega$ e sia $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0,1]$ semplicemente additiva (per la quale vale cioè l'additività solo nel caso finito) (e tale che $\mathbb{P}(\Omega)=1$). Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:
1) $\mathbb{P}$ è $\sigma$-additiva;
2) se $(B_n)_{n\geq 1}$ è una successione decrescente di insiemi (cioè $B_{n+1}\subseteq B_n$ per ogni $n$) tale che la sua intersezione sia vuota, allora risulta $lim_{n\to oo} \mathbb{P}(B_n)=0$.
Ho dei problemi con la dimostrazione che (2) implica (1).
Considero una famiglia numerabile $(A_n)$ di eventi a due a due disgiunti e voglio provare che
$\mathbb{P}(\cup A_n)=\sum_1^{oo} \mathbb{P}(A_n)$.
Il trucco sarebbe quello di considerare la famiglia di code $B_n=A_n\cup A_{n+1}\cup ...$ che è decrescente e la sua intersezione è vuota, per cui si può applicare (2):
$\mathbb{P}(\cup A_n)=\mathbb{P}(A_1\cup...\cup A_n\cup B_{n+1})=\mathbb{P}(A_1)+...+\mathbb{P}(A_n)+\mathbb{P}(B_{n+1})$
dove nell'ultimo passaggio ho usato l'ipotesi di additività semplice. E poi?
Risposte
Dimostra che 2 implica la continuità per una successione di eventi crescenti ed usa questa per dimostrare la additività.
Sì, così mi torna, grazie!
Se voglio provare la continuità per successioni $(A_n)$ crescenti di eventi prendo $B_n=A\setminus A_n$, dove $A=\cup A_n$, mentre se voglio provare la continuità per successioni decrescenti prendo $B_n=A_n\setminus A$.
Mi resta però il dubbio se si possa procedere direttamente, usando cioè l'ipotesi (2) per provare la $\sigma$-additività... Ma a questo punto credo che basti mettere insieme le due dimostrazioni, quella sulla continuità per successioni crescenti e quella della proposizione. Vediamo se funziona:
considero una famiglia numerabile $(A_n)$ di eventi a due a due disgiunti e voglio provare che
$\mathbb{P}(\cup A_n)=\sum_1^{oo} \mathbb{P}(A_n)$. Chiamo $A=\cup_1^{oo} A_n$.
Definisco $B_n=A\cap (\cup_1^nA_i)^c$ che è decrescente e la sua intersezione è vuota, per cui si può applicare (2):
$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}((A\cap (\cup_1^nA_i))\cup (A\cap (\cup_1^nA_i)^c))=\mathbb{P}((\cup_1^nA_i)\cup B_n)=\mathbb{P}(\cup_1^nA_i)+\mathbb{P}(B_n)=\sum_1^n \mathbb{P}(A_i)+\mathbb{P}(B_n)$
e andando al limite si ha la tesi.
Va bene?
Se voglio provare la continuità per successioni $(A_n)$ crescenti di eventi prendo $B_n=A\setminus A_n$, dove $A=\cup A_n$, mentre se voglio provare la continuità per successioni decrescenti prendo $B_n=A_n\setminus A$.
Mi resta però il dubbio se si possa procedere direttamente, usando cioè l'ipotesi (2) per provare la $\sigma$-additività... Ma a questo punto credo che basti mettere insieme le due dimostrazioni, quella sulla continuità per successioni crescenti e quella della proposizione. Vediamo se funziona:
considero una famiglia numerabile $(A_n)$ di eventi a due a due disgiunti e voglio provare che
$\mathbb{P}(\cup A_n)=\sum_1^{oo} \mathbb{P}(A_n)$. Chiamo $A=\cup_1^{oo} A_n$.
Definisco $B_n=A\cap (\cup_1^nA_i)^c$ che è decrescente e la sua intersezione è vuota, per cui si può applicare (2):
$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}((A\cap (\cup_1^nA_i))\cup (A\cap (\cup_1^nA_i)^c))=\mathbb{P}((\cup_1^nA_i)\cup B_n)=\mathbb{P}(\cup_1^nA_i)+\mathbb{P}(B_n)=\sum_1^n \mathbb{P}(A_i)+\mathbb{P}(B_n)$
e andando al limite si ha la tesi.
Va bene?
Mi pare di si che vada tutto bene.
Comunque puoi mandare anche al limite quello che avevi scritto:
$P(uu_{i=1}^{infty}A_i)=sum_{i=1}^nP(A_i)+P(B_n)$
con $B_n=uu_{i=n+1}^{infty}A_i$ che è vera per ogni n;
se la mandi al limite, considerando che $B_n$ tende all'insieme vuoto (Perchè), hai la tesi.
Comunque puoi mandare anche al limite quello che avevi scritto:
$P(uu_{i=1}^{infty}A_i)=sum_{i=1}^nP(A_i)+P(B_n)$
con $B_n=uu_{i=n+1}^{infty}A_i$ che è vera per ogni n;
se la mandi al limite, considerando che $B_n$ tende all'insieme vuoto (Perchè), hai la tesi.
"DajeForte":
Comunque puoi mandare anche al limite quello che avevi scritto:
E' vero! Mi sono perso in un bicchiere d'acqua
con $B_n=uu_{i=n+1}^{infty}A_i$ che è vera per ogni n;
se la mandi al limite, considerando che $B_n$ tende all'insieme vuoto (Perchè), hai la tesi.
Perché $\cap_1^{oo}B_i$ è il limsup degli $A_i$ che deve essere vuoto perché gli $A_i$ sono a due a due disgiunti, giusto?
"retrocomputer":
Perché $\cap_1^{oo}B_i$ è il limsup degli $A_i$ che deve essere vuoto perché gli $A_i$ sono a due a due disgiunti, giusto?
Si. Infatti un $omega$ del limsup deve appartenere ad infiniti eventi della successione.
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