Prodotto di variabili aleatorie e generatrice dei momenti
Ciao ragazzi,
sto preparando un esame di Probabilità, e mi è venuto qualche dubbio nello svolgere questo esercizio:
Riguardo al punto i), io son partito dalla definizione, [tex]\phi(t) = E[e^{Xt}] = $\sum_{k=-2}^2 e^{kt}*p(k)$ = (e^{-2t} + e^{-t} + 1 +e^{t} +e^{2t})*0.2[/tex], dove 0.2 è la probabilità con cui X assume i valori. Finito qui? Dovrei forse trovare una forma più concisa, ad esempio far comparire dei coseni?
Il dubbio maggiore (può darsi che sia una cosa sciocca, ma sono pieno di questa roba fin sopra i capelli, e non sto ragionando più con lucidità), riguarda il punto ii).
Che cosa si può dire sulla variabile [tex]Z = XY[/tex], conoscendo le densità di probabilità discrete di [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex]?
PS: il fatto che X e Y siano indipendenti serviva per un altro punto dell'esercizio, l'ho riportato perché magari serve anche qui, però non vi lasciate sviare da quello, che potrebbe non servire a nulla in questa richiesta.
Ciao e grazie in anticipo
EDIT: mi è venuta in mente una soluzione, forse un po' troppo "a braccio", ma ve la propongo. Se poi ci sono dei risultati più potenti che ci forniscono un approccio più strutturale ne discutiamo! Comunque, ho pensato che:
[tex]P(XY = 1) = P((X=-1 \cap Y=-1) \cup (X=1 \cap Y=1)) =[/tex] // unione di eventi disgiunti
[tex]= P(X=-1 \cap Y=-1)+P(X=1 \cap Y=1)=[/tex] // intersezione di eventi indipendenti
[tex]= P(X=-1)P(Y=-1)+P(X=1)P(Y=1)= (0.2*0.2)*2 = 0.08[/tex]
che ne dite? forse lo potevo scrivere meglio, applicando le probabilità totali...
sto preparando un esame di Probabilità, e mi è venuto qualche dubbio nello svolgere questo esercizio:
Due variabili aleatorie discrete [tex]X[/tex] ed [tex]Y[/tex] sono indipendenti e distribuite come segue: assumono i valori -2, -1, 0, 1, 2 con eguale probabilità.
i) Calcolare la generatrice dei momenti della variabile [tex]X[/tex]
ii) Calcolare [tex]P(XY = 1)[/tex]
Riguardo al punto i), io son partito dalla definizione, [tex]\phi(t) = E[e^{Xt}] = $\sum_{k=-2}^2 e^{kt}*p(k)$ = (e^{-2t} + e^{-t} + 1 +e^{t} +e^{2t})*0.2[/tex], dove 0.2 è la probabilità con cui X assume i valori. Finito qui? Dovrei forse trovare una forma più concisa, ad esempio far comparire dei coseni?
Il dubbio maggiore (può darsi che sia una cosa sciocca, ma sono pieno di questa roba fin sopra i capelli, e non sto ragionando più con lucidità), riguarda il punto ii).
Che cosa si può dire sulla variabile [tex]Z = XY[/tex], conoscendo le densità di probabilità discrete di [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex]?
PS: il fatto che X e Y siano indipendenti serviva per un altro punto dell'esercizio, l'ho riportato perché magari serve anche qui, però non vi lasciate sviare da quello, che potrebbe non servire a nulla in questa richiesta.
Ciao e grazie in anticipo
EDIT: mi è venuta in mente una soluzione, forse un po' troppo "a braccio", ma ve la propongo. Se poi ci sono dei risultati più potenti che ci forniscono un approccio più strutturale ne discutiamo! Comunque, ho pensato che:
[tex]P(XY = 1) = P((X=-1 \cap Y=-1) \cup (X=1 \cap Y=1)) =[/tex] // unione di eventi disgiunti
[tex]= P(X=-1 \cap Y=-1)+P(X=1 \cap Y=1)=[/tex] // intersezione di eventi indipendenti
[tex]= P(X=-1)P(Y=-1)+P(X=1)P(Y=1)= (0.2*0.2)*2 = 0.08[/tex]
che ne dite? forse lo potevo scrivere meglio, applicando le probabilità totali...
Risposte
"kilin88pisa":
Riguardo al punto i), io son partito dalla definizione, [tex]\phi(t) = E[e^{Xt}] = $\sum_{k=-2}^2 e^{kt}*p(k)$ = (e^{-2t} + e^{-t} + 1 +e^{t} +e^{2t})*0.2[/tex], dove 0.2 è la probabilità con cui X assume i valori. Finito qui? Dovrei forse trovare una forma più concisa,
Tenendo conto dell'espressione della Mgf della v.a. uniforme discreta, puoi esprimerla anche così: [tex]$\phi(t) = \frac {e^{-2t} - e^{3t}} {5(1-e^{t})}$[/tex]
"kilin88pisa":
ii) Calcolare [tex]P(XY = 1)[/tex]
Se chiede solamente la probabilità che il prodotto sia 1, io vedo solo 2 casi possibili:
[tex]P(XY = 1)=P(X=1 \cap Y=1)+P(X=-1 \cap Y=-1)[/tex]
e qui userei l'indipendenza...
edit: ho visto dopo la tua modifica al secondo punto, OK
grazie della risposta 
Sul punto ii) siamo giunti alla stessa conclusione : volendola giustificare meglio, ho fatto due conti e si può arrivare allo stesso risultato applicando le probabilità totali, ma è inutilmente lungo (a volte però in questi es è richiesto "fai questo applicando questo teorema" per questo segnalo anche questa strada ). Si tratta di fare:
[tex]P(XY=1) = P(XY=1|Y=-2)P(Y=-2) + P(XY=1|Y=-1)P(Y=-1) + P(XY=1|Y=0)P(Y=0) + P(XY=1|Y=1)P(Y=1) + P(XY=1|Y=2)P(Y=2) =[/tex] // i termini con Y = -2, e Y = 0 danno luogo a probabilità condizionali nulle
[tex]= P(XY=1|Y=-1)P(Y=-1) + P(XY=1|Y=1)P(Y=1)
= P(X=-1|Y=-1)P(Y=-1) + P(X=1|Y=1)P(Y=1) =[/tex] // ho sostituito nella parte sinistra della prob condizionale in fatto noto, ovvero il valore di Y. Non credo ci siano problemi nel fare questo passaggio, correggetemi se sbaglio!
[tex]= P(X=-1)P(Y=-1) + P(X=1)P(Y=1)[/tex] // ho applicato l'indipendenza
e siamo allo stesso risultato di prima.
che ve ne pare?
Sul punto ii) siamo giunti alla stessa conclusione : volendola giustificare meglio, ho fatto due conti e si può arrivare allo stesso risultato applicando le probabilità totali, ma è inutilmente lungo (a volte però in questi es è richiesto "fai questo applicando questo teorema" per questo segnalo anche questa strada ). Si tratta di fare:[tex]P(XY=1) = P(XY=1|Y=-2)P(Y=-2) + P(XY=1|Y=-1)P(Y=-1) + P(XY=1|Y=0)P(Y=0) + P(XY=1|Y=1)P(Y=1) + P(XY=1|Y=2)P(Y=2) =[/tex] // i termini con Y = -2, e Y = 0 danno luogo a probabilità condizionali nulle
[tex]= P(XY=1|Y=-1)P(Y=-1) + P(XY=1|Y=1)P(Y=1)
= P(X=-1|Y=-1)P(Y=-1) + P(X=1|Y=1)P(Y=1) =[/tex] // ho sostituito nella parte sinistra della prob condizionale in fatto noto, ovvero il valore di Y. Non credo ci siano problemi nel fare questo passaggio, correggetemi se sbaglio!
[tex]= P(X=-1)P(Y=-1) + P(X=1)P(Y=1)[/tex] // ho applicato l'indipendenza
e siamo allo stesso risultato di prima.
che ve ne pare?
Si è giusto.
Diciamo pure che è lo stesso ragionamento di cenzo, solo che lui le prime 3 righe le fatte in maniera "implicita"
Diciamo pure che è lo stesso ragionamento di cenzo, solo che lui le prime 3 righe le fatte in maniera "implicita"
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