Prodotto di variabili aleatorie!

[Jonhson91]

prodotto o rapporto, cambia qualcosa?

Due variabili aleatorie $ X$ e $Y$ sono definite in questo modo:

$X$ è un esponenziale negativo monolatero con valor medio $a$ noto.

$Y$ è una variabile uniformemente distribuita fra $ [1,2] $.

Sapendo che le due variabili sono indipendenti, si calcoli valor medio di $Z=X/Y$.

Allora il valor medio di $X$ è noto dal testo, quello di $Y$ è ovviamente $1/2$.
Ora, se fosse il prodotto saprei che la soluzione è semplicemente il prodotto dei valor medi, perchè appunto sono indipendenti. Ma essendo un rapporto, cambia qualcosa? o posso dire che il valor medio è semplicemente $2a$ ?

Grazie.

[retrocomputer]

"Jonhson91":
Ora, se fosse il prodotto saprei che la soluzione è semplicemente il prodotto dei valor medi, perchè appunto sono indipendenti. Ma essendo un rapporto, cambia qualcosa? o posso dire che il valor medio è semplicemente $2a$ ?

Penso che cambi qualcosa... La speranza di $X/Y$ secondo me si ottiene dal prodotto delle speranze di $X$ e di $1/Y$. La seconda potresti calcolarla trovandone la densità.

[Ciobix]

Il valore atteso di variabili aleatorie non indipendenti è
\[
E\bigg[\frac{X}{Y}\bigg]=E(X)E\bigg(\frac{1}{Y}\bigg)+cov\bigg(X,\frac{1}{Y}\bigg)
\]
E ricorda che
\[
E\bigg(\frac{1}{Y}\bigg)\neq\frac{1}{E(Y)}
\]

[DajeForte]

"retrocomputer":

Penso che cambi qualcosa... La speranza di $X/Y$ secondo me si ottiene dal prodotto delle speranze di $X$ e di $1/Y$. La seconda potresti calcolarla trovandone la densità.

...oppure tramite $ int_1^2 1/y dy$.

Ricordo inoltre che se X e Y sono indipendenti lo sono anche X e 1/Y.

[Jonhson91]

"Ciobix":Il valore atteso di variabili aleatorie non indipendenti è
\[E\bigg[\frac{X}{Y}\bigg]=E(X)E\bigg(\frac{1}{Y}\bigg)+cov\bigg(X,\frac{1}{Y}\bigg)\]
E ricorda che
\[E\bigg(\frac{1}{Y}\bigg)\neq\frac{1}{E(Y)}\]

Se sono indipendenti la $ cov(X,Y)=0 $, ma lo anche la è anche la $ cov (X, 1/Y) $ ?

Edit: direi che è così, non vedo perchè dovrebbe cambiare la sua dipendenza.

Con il teorema dell'aspettazione posso calcolare il valor medio di $ Z= 1/Y $ che è $ int_(1)^(2) 1/Y dy = ln2 $

Quindi $ E{XY}= a*ln2 $

Giusto?

[hamming_burst]

"Jonhson91":
Se sono indipendenti la $ cov(X,Y)=0 $, ma lo anche la è anche la $ cov (X, 1/Y) $ ?

sì

Edit: direi che è così, non vedo perchè dovrebbe cambiare la sua dipendenza.

Con il teorema dell'aspettazione posso calcolare il valor medio di $ Z= 1/Y $ che è $ int_(1)^(2) 1/Y dy = ln2 $

direi di sì (teorema dell'aspettazione? è sicuro legato al valore atteso, mi daresti il succo di ciò che sarebbe...)

Quindi $ E{XY}= a*ln2 $

nì
$E[XY] = a*3/2$
te vuoi $E[X*1/Y] = a*ln(2)$

[Jonhson91]

"hamming_burst":[quote="Jonhson91"]
Se sono indipendenti la $ cov(X,Y)=0 $, ma lo anche la è anche la $ cov (X, 1/Y) $ ?

sì

Edit: direi che è così, non vedo perchè dovrebbe cambiare la sua dipendenza.

Con il teorema dell'aspettazione posso calcolare il valor medio di $ Z= 1/Y $ che è $ int_(1)^(2) 1/Y dy = ln2 $

direi di sì (teorema dell'aspettazione? è sicuro legato al valore atteso, mi daresti il succo di ciò che sarebbe...)

Quindi $ E{XY}= a*ln2 $

nì
$E[XY] = a*3/2$
te vuoi $E[X*1/Y] = a*ln(2)$[/quote]

Sì sì, ho sbagliato a scrivere, ma volevo dire $E[X*1/Y] $

Il professore l'ha definito in questo modo. In sostanza, non so se ha un altro nome, dice che se $x$ è una variabile aleatoria di densità $ f_x(x) $ allora il valor medio di $y$ tale che $ y=g(x) $ è dato da

$ E{Y} = int g(x)*f_x(x) dx $

Ma a me suona più di proprietà che non teorema.

[retrocomputer]

"retrocomputer":

Penso che cambi qualcosa... La speranza di $X/Y$ secondo me si ottiene dal prodotto delle speranze di $X$ e di $1/Y$. La seconda potresti calcolarla trovandone la densità.

"DajeForte":...oppure tramite $ int_1^2 1/y dy$.

Naaaa... Così si fa troppo presto