Prodotto di due variabili casuali

[maybe1]

non ho capito come si fa a calcolare la funzione di densità di probabilità della variabile casuale prodotto... mi spiego..
sul mio libro c'è scritto
siano X e Y variabili casuali e U= $X * Y $ variabile casuale prodotto e f[size=75]XY[/size](x,y) densità di probabilità congiunta
la funzione di distribuzione della variabile casuale prodotto è
F[size=75]U[/size](u)= P(U$<=$u)=P($X*Y$$<=$u)= $ int int_()^( ) f[size=75]XY[/size](x,y) $ \ dx \ dy $
dove D= $ { ( x,y) in RR ^2|x*y<=u} $
se u>0 la curva di equazione u=$x*y$ rappresenta l'iperbole equilatera y=$u/x $ i cui rami giacciono nel 1 e 3 quadrante. decomponendo la regione di integrazione nelle due zone x<0 e x>0 e integrando per verticali si ha:
F[size=75]U[/size](u)=$ int_(-oo )^(0) dx int_(u/x)^(+oo ) f[size=75]XY[/size](x,y) $ \ dy $+ $ int_(0)^(+oo ) dx int_(-oo )^(u/x) $ f[size=75]XY[/size](x,u/x) dx $
fin qui ci sono però poi dice: derivando rispetto al u entrambi i membri di quest'ultima tramite la formula di derivazione sotto il segno di integrale si ottiene infine che
f[size=75]U[/size](u)=f[size=75]$X*Y$[/size](u)= $ int_(-oo )^(0) -1/x *f[size=75]XY[/size](x,$u/x$) dx $+$ $ int_(0)^(+oo ) 1/x *f[size=75]XY[/size](x,$u/x$) dx $

come si applica questa formula di derivazione sotto il segno di integrale??? qualcuno me lo potrebbe spiegare passaggio per passaggio...
grazie a chiunque voglia darmi una mano

[DajeForte]

Tu hai una struttura di questo tipo $int g(x,u)\ dx$; per potere derivare rispetto ad $u$ (fare il limite del rapporto incrementale) devi portare questo limite dentro l'integrale usando i teoremi di passaggio al limite. Ricorda che le densità di probabilità hanno integrale $1$ e quindi dovresti riuscire ad utilizzare il teorema dela convergenza dominata.

Puoi dunque derivare $g(x,u)$ rispetto ad $u$ mediante il teorema fondamentale del calcolo integrale.