Processo di Poisson? No, uniforme
Salve a tutti, sono nuovo nel forum e volevo chiedere una mano su un esercizio che non riesco proprio a comprendere e dato che ho l'esame di probabilità tra pochi giorni mi servirebbe un aiuto 
. L'esercizio è il seguente:
Due veicoli arrivano a caso e indipendentemente in una fissata località durante l’intervallo di tempo [0, 5]. Se X e Y sono, rispettivamente, i tempi di attesa fino all’arrivo del primo e dell’ultimo veicolo, calcolare la densità di X ,di Y e di Z=Y −X e il valore atteso di X.
Grazie mille in anticipo!!
. L'esercizio è il seguente:Due veicoli arrivano a caso e indipendentemente in una fissata località durante l’intervallo di tempo [0, 5]. Se X e Y sono, rispettivamente, i tempi di attesa fino all’arrivo del primo e dell’ultimo veicolo, calcolare la densità di X ,di Y e di Z=Y −X e il valore atteso di X.
Grazie mille in anticipo!!
Risposte
sei nuovo e quindi di ho approvato il messaggio pur essendo in palese violazione del [regolamento]regolamento[/regolamento]. Aiuti sarà difficile che ne riceverai, almeno finché il messaggio non sarà conforme alla politica del forum.
Proprio eccezionalmente, dato che sei appena iscritto e sto partendo per le vacanze, ti dò qualche utile suggerimento
Il processo di poisson non c'entra nulla, è un esercizio sui vettori aleatori....sai che i due individui possono arrivare indipendentemente E CASUALMENTE nell'intervallo $[0;5]$ quindi la distribuzione di ogni soggetto è una Uniforme su quell'intervallo. Hai due soggetti X e Y uno arriva prima e l'altro dopo, quindi a questo punto l'indipendenza se ne va....noto questo dovrebbe esserti chiaro qual è la densità congiunta di $(X,Y)$ e da qui non dovresti avere difficoltà a calcolare le due densità marginali e quella di $(Y-X)$
Ovviamente questo è un modo di procedere ma non l'unico; si può considerare X e Y come il minimo ed il massimo di due distribuzioni uniformi indipendenti ottenendo lo stesso risultato.
....e se i veicoli fossero 3: X,Y,Z e fossimo interessati alla legge dei tempi di attesa di ciascuno?
Avviso importante:: se il prossimo messaggio sarà scritto nello stesso modo ti dico già che non lo approverò
cordiali saluti
Proprio eccezionalmente, dato che sei appena iscritto e sto partendo per le vacanze, ti dò qualche utile suggerimento
Il processo di poisson non c'entra nulla, è un esercizio sui vettori aleatori....sai che i due individui possono arrivare indipendentemente E CASUALMENTE nell'intervallo $[0;5]$ quindi la distribuzione di ogni soggetto è una Uniforme su quell'intervallo. Hai due soggetti X e Y uno arriva prima e l'altro dopo, quindi a questo punto l'indipendenza se ne va....noto questo dovrebbe esserti chiaro qual è la densità congiunta di $(X,Y)$ e da qui non dovresti avere difficoltà a calcolare le due densità marginali e quella di $(Y-X)$
Ovviamente questo è un modo di procedere ma non l'unico; si può considerare X e Y come il minimo ed il massimo di due distribuzioni uniformi indipendenti ottenendo lo stesso risultato.
....e se i veicoli fossero 3: X,Y,Z e fossimo interessati alla legge dei tempi di attesa di ciascuno?
Avviso importante:: se il prossimo messaggio sarà scritto nello stesso modo ti dico già che non lo approverò
cordiali saluti
cogliendo il consiglio di @tommik di trattare X,Y come uniformi (cosa che per altro non avevo compreso), otteniamo immediatamente le loro densità e quindi
$f_X(x)=1/5 I_(\text{[0,5]})(x) ^^ f_Y(y)=1/5 I_(\text{[0,5]})(y)$ ed inoltre $E(X)=E(Y)=int_(0)^(5)1/5dx=5/2$
per la densità di Z invece userò il metodo dello Jacobiano. sia $z in [0,5]$, allora considerando che la congiunta di due uniformi è costante e pari a $f_(X,Y)(x,y)=1/25 I_([0,5] xx [0,5])(x,y)$, introducendo la v.a. ausiliaria $Y=U$ ottengo che $f_(U,Z)(u,z)=1/25 I_([z,5+z] xx [0,5])(u,z)$ da cui la densità cercata vale $f_Z(z)=int_(z)^(5+z)1/25 du=1/5I_(\text{[0,5]})$ (che si dimostra essere normalizzata).
$f_X(x)=1/5 I_(\text{[0,5]})(x) ^^ f_Y(y)=1/5 I_(\text{[0,5]})(y)$ ed inoltre $E(X)=E(Y)=int_(0)^(5)1/5dx=5/2$
per la densità di Z invece userò il metodo dello Jacobiano. sia $z in [0,5]$, allora considerando che la congiunta di due uniformi è costante e pari a $f_(X,Y)(x,y)=1/25 I_([0,5] xx [0,5])(x,y)$, introducendo la v.a. ausiliaria $Y=U$ ottengo che $f_(U,Z)(u,z)=1/25 I_([z,5+z] xx [0,5])(u,z)$ da cui la densità cercata vale $f_Z(z)=int_(z)^(5+z)1/25 du=1/5I_(\text{[0,5]})$ (che si dimostra essere normalizzata).
Sono in aeroporto.... non è che sia nelle migliori condizioni per rispondere ma ci provo...
Intanto per tempi di attesa si intende tempi di arrivo. Il tempo di attesa è la variabile $Y-X$.
Per semplificare i conti facciamo l'intervallo $[0;1]$ tanto non cambia nulla.
Si può risolvere calcolando le distribuzioni di $X=min$ partendo da due uniformi indipendenti su $[0;1]$ con la nota formula
$F_Z=1-(1-F)^2=1-(1-z)^2$
Che derivata porge $f_Z=2(1-z)$
Oppure puoi considerare le due variabili uniformi non indipendenti ma definite sul triangolo del primo quadrante dove $Y>X$ e quindi con densità congiunta $f(x,y)=2$
A questo punto per calcolare la legge di X che Poi è il minimo basta integrare la densità rispetto ad y ottenendo
$f_X=int_(x)^(1)2dy=2(1-x)$
Che come vedi è lo stesso risultato ma così viene più semplice il calcolo della legge $Z=Y-X$.
Con l'intervallo $[0;5]$ non cambia nulla ma sto facendo i conti a mente e mi veniva più comodo eliminare i coefficienti superflui
Intanto per tempi di attesa si intende tempi di arrivo. Il tempo di attesa è la variabile $Y-X$.
Per semplificare i conti facciamo l'intervallo $[0;1]$ tanto non cambia nulla.
Si può risolvere calcolando le distribuzioni di $X=min$ partendo da due uniformi indipendenti su $[0;1]$ con la nota formula
$F_Z=1-(1-F)^2=1-(1-z)^2$
Che derivata porge $f_Z=2(1-z)$
Oppure puoi considerare le due variabili uniformi non indipendenti ma definite sul triangolo del primo quadrante dove $Y>X$ e quindi con densità congiunta $f(x,y)=2$
A questo punto per calcolare la legge di X che Poi è il minimo basta integrare la densità rispetto ad y ottenendo
$f_X=int_(x)^(1)2dy=2(1-x)$
Che come vedi è lo stesso risultato ma così viene più semplice il calcolo della legge $Z=Y-X$.
Con l'intervallo $[0;5]$ non cambia nulla ma sto facendo i conti a mente e mi veniva più comodo eliminare i coefficienti superflui
ci ho riprovato ma ho dei problemi con la FdR di Z.
$F_X (x)=P(min(A.B)<=x)=1-[1-P(A<=x)]^2=1-(1-x/5)^2 I_(\text{[0,5]})(x)$ che derivata restituisce una densità pari a $f_X(x)=2/5(1-x/5)$
per la media di X calcolo $int_(0)^(5)xf_X(x)dx=5/3$
analogamente per il massimo trovo $F_Y(y)=y^2/25 I_(\text{[0,5]})(y) rArr f_Y(y)=(2y)/25 I_(\text{[0,5]})(y)$
ora sorgono i problemi.. per Z volevo calcolarmi la CDF così:
$P(Y <= z+X)=1-P(Z>z)=1-(z-5)^2/2$ dove $P(Z>z)$ è l'area del triangolo che risulta dal disegnare la retta y=z+x nel quadrato $[0,5] xx [0,5]$. il problema è che non esce una densità andando poi a derivare.
dove sta il mio errore?
oltretutto non mi è chiaro perchè X,Y debbano essere il max ed il min
$F_X (x)=P(min(A.B)<=x)=1-[1-P(A<=x)]^2=1-(1-x/5)^2 I_(\text{[0,5]})(x)$ che derivata restituisce una densità pari a $f_X(x)=2/5(1-x/5)$
per la media di X calcolo $int_(0)^(5)xf_X(x)dx=5/3$
analogamente per il massimo trovo $F_Y(y)=y^2/25 I_(\text{[0,5]})(y) rArr f_Y(y)=(2y)/25 I_(\text{[0,5]})(y)$
ora sorgono i problemi.. per Z volevo calcolarmi la CDF così:
$P(Y <= z+X)=1-P(Z>z)=1-(z-5)^2/2$ dove $P(Z>z)$ è l'area del triangolo che risulta dal disegnare la retta y=z+x nel quadrato $[0,5] xx [0,5]$. il problema è che non esce una densità andando poi a derivare.
dove sta il mio errore?
oltretutto non mi è chiaro perchè X,Y debbano essere il max ed il min
Devi moltiplicare il triangolino per la densità
$F_Z=1-2/25(z-5)^2/2$
Prova così e vedrai che torna
Come non è chiaro perché devono essere il min e il Max....uno dei due arriva prima e uno dopo....stai guardando i tempi di arrivo partendo da zero....
Faccio notare che esiste anche una terza via risolutiva: la densità delle statistiche d'ordine. Ad esempio per risolvere il quesito ulteriore: arrivano 3 veicoli in sequenza : X, Y, Z.
Calcolare la densità dei tempi di arrivo di ciascuno.
$F_Z=1-2/25(z-5)^2/2$
Prova così e vedrai che torna
Come non è chiaro perché devono essere il min e il Max....uno dei due arriva prima e uno dopo....stai guardando i tempi di arrivo partendo da zero....
Faccio notare che esiste anche una terza via risolutiva: la densità delle statistiche d'ordine. Ad esempio per risolvere il quesito ulteriore: arrivano 3 veicoli in sequenza : X, Y, Z.
Calcolare la densità dei tempi di arrivo di ciascuno.
"tommik":
Devi moltiplicare il triangolino per la densità
grazie, ecco cosa mancava
"tommik":
Come non è chiaro perché devono essere il min e il Max....uno dei due arriva prima e uno dopo....stai guardando i tempi di arrivo partendo da zero....
ovviamente.....
"tommik":
Faccio notare che esiste anche una terza via risolutiva: la densità delle statistiche d'ordine. Ad esempio per risolvere il quesito ulteriore: arrivano 3 veicoli in sequenza : X, Y, Z.
non le abbiamo mai fatte ma magari stasera quando ho un po' di tempo do un'occhiata all'argomento
come sempre grazie a tutti
Formula complicata. Se non le avete fatte lascerei perdere. qui se vuoi c'è un bell'esempio postato da un utente che ho risolto...
Per completare il quadro ti chiederei di calcolare la covarianza fra X e Y per vedere come sono correlate....
Per completare il quadro ti chiederei di calcolare la covarianza fra X e Y per vedere come sono correlate....
"tommik":
Per completare il quadro ti chiederei di calcolare la covarianza fra X e Y per vedere come sono correlate....
ho calcolato prima che $E(X)=5/3$. Calcolo ora $E(Y)=int_(0)^(5)2/25 y^2dy=10/3$.
infine manca $E(XY)=E(AB)=E(A)E(B)=25/4$ sfruttando l'indipendenza
quindi $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=25/4-5/3*10/3=25/36$
Ok. Sfruttando le statistiche d'ordine si può vedere che, più le variabili si allontanano più la correlazione diminuisce.
Grazie a tutti i partecipanti. Da un topic sterile ne è uscita una discussione istruttiva che sarà sicuramente utile a molti studenti. Questo è il giusto spirito del forum
Grazie a tutti i partecipanti. Da un topic sterile ne è uscita una discussione istruttiva che sarà sicuramente utile a molti studenti. Questo è il giusto spirito del forum
grazie a voi per l'aiuto!
Grazie mille a tutti per le risposte, ho capito tutto finalmente e ti chiedo scusa tommik se non ho letto il regolamento, ora che sono conscio delle regole del forum le rispetterò una ad una. Grazie ancora!
"tommik":
Devi moltiplicare il triangolino per la densità
$F_Z=1-2/25(z-5)^2/2$
Prova così e vedrai che torna
Come non è chiaro perché devono essere il min e il Max....uno dei due arriva prima e uno dopo....stai guardando i tempi di arrivo partendo da zero....
Faccio notare che esiste anche una terza via risolutiva: la densità delle statistiche d'ordine. Ad esempio per risolvere il quesito ulteriore: arrivano 3 veicoli in sequenza : X, Y, Z.
Calcolare la densità dei tempi di arrivo di ciascuno.
Non sapendo come si potessero commentare i post vecchi purtroppo sono stato frainteso, volevo semplicemente chiedere ulteriori spiegazioni riguardanti questo ultimo punto dell'esercizio dato che procedendo tramite integrazione della congiunta e conseguente derivata non mi viene lo stesso risultato da te trovato.
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