Processo di Poisson
Ciao ragazzi, mi servirebbe una mano su questo esercizio (mi sembra abbastanza banale ma non riesco a farlo):
Nella padella si stanno riscaldando n chicchi di grano saraceno su cui facciamo un'ipotesi particolare, e cioè che siano senza memoria; ciascuno di essi esploderà diventando un popcorn secondo un processo di Poisson con rate λ e indipendentemente dagli altri. Gianni li potrà servire ai clienti del suo bar solo quando tutti gli n saranno diventati popcorn.
Qual'e' il tempo medio che Gianni deve attendere?
Grazie tante.
Mat.
Nella padella si stanno riscaldando n chicchi di grano saraceno su cui facciamo un'ipotesi particolare, e cioè che siano senza memoria; ciascuno di essi esploderà diventando un popcorn secondo un processo di Poisson con rate λ e indipendentemente dagli altri. Gianni li potrà servire ai clienti del suo bar solo quando tutti gli n saranno diventati popcorn.
Qual'e' il tempo medio che Gianni deve attendere?
Grazie tante.
Mat.
Risposte
Magari dirò una fesseria, ma io la vedo così:
Il tempo medio di esplosione del chicco è lo stesso per tutti i chicchi, quindi in realtà il tempo medio di attesa è quello di un chicco solo; è un pò come quell'indovinello, che ora non ricordo ma che traeva in inganno perchè si pensa che i tempi si sommino, ma in realtà avvenendo in parallelo il tempo è lo stesso per tutti i fenomeni.
Indovinelli a parte, prenderei quindi semplicemente la media della corrispondente esponenziale che modella il tempo d'attesa di quel processo, quindi a parametro $\lambda$, media che non è altro che $\frac{1}{\lambda}$.
Il tempo medio di esplosione del chicco è lo stesso per tutti i chicchi, quindi in realtà il tempo medio di attesa è quello di un chicco solo; è un pò come quell'indovinello, che ora non ricordo ma che traeva in inganno perchè si pensa che i tempi si sommino, ma in realtà avvenendo in parallelo il tempo è lo stesso per tutti i fenomeni.
Indovinelli a parte, prenderei quindi semplicemente la media della corrispondente esponenziale che modella il tempo d'attesa di quel processo, quindi a parametro $\lambda$, media che non è altro che $\frac{1}{\lambda}$.
Penso che
\(\displaystyle
{1\over\log(\frac{\lambda}{\lambda-1})} \left(1+{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+{1\over n}\right)+\frac{1}{2}
\approxeq{1\over\log(\frac{\lambda}{\lambda-1})} \left(\gamma+\log(n) \right)+\frac{1}{2}
\)
sia una buona approssimazione.
La tua questione è parente della mia questione nel forum di math.stackexchange.com.
http://math.stackexchange.com/questions/105430/dice-problem-numerical-approximation
Ma magari qualcuno ha una soluzione più esatta...
\(\displaystyle
{1\over\log(\frac{\lambda}{\lambda-1})} \left(1+{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+{1\over n}\right)+\frac{1}{2}
\approxeq{1\over\log(\frac{\lambda}{\lambda-1})} \left(\gamma+\log(n) \right)+\frac{1}{2}
\)
sia una buona approssimazione.
La tua questione è parente della mia questione nel forum di math.stackexchange.com.
http://math.stackexchange.com/questions/105430/dice-problem-numerical-approximation
Ma magari qualcuno ha una soluzione più esatta...
"neuro":
Magari dirò una fesseria, ma io la vedo così:
Il tempo medio di esplosione del chicco è lo stesso per tutti i chicchi, quindi in realtà il tempo medio di attesa è quello di un chicco solo; è un pò come quell'indovinello, che ora non ricordo ma che traeva in inganno perchè si pensa che i tempi si sommino, ma in realtà avvenendo in parallelo il tempo è lo stesso per tutti i fenomeni.
Indovinelli a parte, prenderei quindi semplicemente la media della corrispondente esponenziale che modella il tempo d'attesa di quel processo, quindi a parametro $\lambda$, media che non è altro che $\frac{1}{\lambda}$.
Penso che $\frac{1}{\lambda}$ non può essere corretto. E' evidente che se hai più chicchi, devi aspettare più tempo...
Non ne sono così convinto, poi ovviamente la mia opinione non è assolutamente di alcun valore essendo ancora uno studente in difficoltà 
Però insomma, se hai un chicco solo, con le stesse caratteristiche di quelle dell'esempio in apertura, non necessariamente devi aspettare meno tempo che per due, o per tre, o per mille, o un milione... Proprio perchè sono processi indipendenti che cominciano nello stesso istante e hanno le stesse caratteristiche. Certo, ci sarà una probabilità maggiore di trovare chicchi che ci impiegano più della media, ma allo stesso modo ce ne saranno molti di più che ci mettono meno tempo.
Edit: come non detto, è certamente sbagliato il mio ragionamento, semplicemente perchè avendoli tutti insieme, i chicchi che ci mettono di più incrementano il tempo d'attesa, mentre quelli che ci mettono di meno, di certo non lo diminuiscono. Getto la spugna
Però insomma, se hai un chicco solo, con le stesse caratteristiche di quelle dell'esempio in apertura, non necessariamente devi aspettare meno tempo che per due, o per tre, o per mille, o un milione... Proprio perchè sono processi indipendenti che cominciano nello stesso istante e hanno le stesse caratteristiche. Certo, ci sarà una probabilità maggiore di trovare chicchi che ci impiegano più della media, ma allo stesso modo ce ne saranno molti di più che ci mettono meno tempo.
Edit: come non detto, è certamente sbagliato il mio ragionamento, semplicemente perchè avendoli tutti insieme, i chicchi che ci mettono di più incrementano il tempo d'attesa, mentre quelli che ci mettono di meno, di certo non lo diminuiscono. Getto la spugna
Bisogna trovare il valore atteso del massimo di una sequenza di esponenziali indipendenti.
Qualche idee, mà non sono sicuro...
CDF
\(\displaystyle P(t_{mass}
PDF
\(\displaystyle f(t)=\frac{\mathrm{d} \left(1-e^{-\lambda t}\right)^n}{\mathrm{d} t}=n\lambda\left(1-e^{-\lambda t}\right)^{n-1} \)
E
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}tf(t)dt=\int_{0}^{\infty}tn\lambda\left(1-e^{-\lambda t}\right)^{n-1}dt=... \)
CDF
\(\displaystyle P(t_{mass}
\(\displaystyle f(t)=\frac{\mathrm{d} \left(1-e^{-\lambda t}\right)^n}{\mathrm{d} t}=n\lambda\left(1-e^{-\lambda t}\right)^{n-1} \)
E
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}tf(t)dt=\int_{0}^{\infty}tn\lambda\left(1-e^{-\lambda t}\right)^{n-1}dt=... \)
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