Processo di Poisson

[el_pampa1]

Devo mostrare che $P(N_{t+s} - N_{t}=0)= 1 - \lambda * h + o(h)$ e $P(N_{t+s} - N_{t}=1)= \lambda * h + o(h)$. Come si fa?

[clrscr]

"el_pampa":Devo mostrare che $P(N_{t+s} - N_{t}=0)= 1 - \lambda * h + o(h)$ e $P(N_{t+s} - N_{t}=1)= \lambda * h + o(h)$. Come si fa?

Faccio la dimostrazione per il primo caso, per il secondo è simile.

$P(N_{t+s} - N_{t}=0)$ significa che tra l'istante $t$ e $t+s$ non ci sono arrivi.

Sapendo che il tempo di interarrivo in un Proc. di P. è descritto da una variabile esponenziale di parametro $lambda$ allora la probabilità suddetta si traduce come:
$P[\text{il tempo di interarrivo} > s]=1-P[\text{tempo interarrivo} <=s]=1-int_0^s lambda *e^(-lambda*t) dt=e^(-lambda*s)$.

L'ipotesi usata per trovare il risultato è quella di assumere "s" infinitesimo, quindi:
$lim_(s->0) e^(-lambda*s)=1-lambda*s+o(s)$

[el_pampa1]

è sbagliato pensarla così:
$P(N_{t+s}-N_{t}=0)=P(N_{s}=0)=exp{- \lambda h}$ e poi sfrutto lo sviluppo di taylor?

[clrscr]

"el_pampa":è sbagliato pensarla così:
$P(N_{t+s}-N_{t}=0)=P(N_{s}=0)=exp{- \lambda h}$ e poi sfrutto lo sviluppo di taylor?

Si si...e giusto!!!