Problemi su bernullina, binomiale, geometrica
1.
Domitilla vuole completare l’album di N figurine di una nota trasmissione televisiva.
Ormai le manca solo la figurina di ”Lallo il cavallo”. Per ora sia N = 90.
1) Se le figurine vengono vendute in bustine da 5 con la garanzia che non si possono trovare
figurine identiche all’interno della stessa bustina, quale `e la probabilit`a che Domitilla riesca a
completare l’album acquistando una bustina? Quante bustine deve mediamente acquistare per
completare l’album? Se la nonna decide di regalare a Domitilla 100 bustine di figurine, quante
bustine contenenti ”Lallo il cavallo” trover`a mediamente Domitilla?
2)Nell’ipotesi in cui nelle bustine da 5 figurine possano comparire anche pi`u figurine uguali,
rispondere alle tre domande formulate al punto 1).
Infine per N generico, confrontare la probabilit`a di completare l’album acquistando una sola
bustina nel caso in cui le bustine possano contenere solo 5 figurine tra loro diverse oppure nel
caso in cui le 5 figurine all’interno della confezione possono essere anche uguali tra loro. Cosa
accade al crescere di N?
[1) P1 = 1/18, E[X1] = 18, E[Y1] = 50/9; 2) P2 = 1 − (89/90)^5,
E[X2] ≃ 18.4, E[Y2] ≃ 5.43; in generale P1 = 5/N, P2 = 1 − (1 − 1/N)^5.]
2.
5 Una moneta equilibrata viene lanciata un certo numero n di volte. Si considerino
gli eventi:
A : ”Esce T al pi`u una volta”
B: ”T e C escono almeno una volta ciascuno”.
Si chiede: a) calcolare P(A), P(B), P(A ∩ B); b) ricavare la probabilit`a condizionata P(B|A)
e mostrare che esiste un solo valore di n (e determinarlo) per cui A e B sono indipendenti.
[
P(A) = (n + 1)/2^n, P(B) = (2n−1 − 1)/2^(n−1), P(A ∩ B) = n/2^n, P(B|A) = n/(n + 1), A e B sono indip. per n = 3]
chiedo gentilmente la spiegazione e la risoluzione di questi 2 problemi
2.
Domitilla vuole completare l’album di N figurine di una nota trasmissione televisiva.
Ormai le manca solo la figurina di ”Lallo il cavallo”. Per ora sia N = 90.
1) Se le figurine vengono vendute in bustine da 5 con la garanzia che non si possono trovare
figurine identiche all’interno della stessa bustina, quale `e la probabilit`a che Domitilla riesca a
completare l’album acquistando una bustina? Quante bustine deve mediamente acquistare per
completare l’album? Se la nonna decide di regalare a Domitilla 100 bustine di figurine, quante
bustine contenenti ”Lallo il cavallo” trover`a mediamente Domitilla?
2)Nell’ipotesi in cui nelle bustine da 5 figurine possano comparire anche pi`u figurine uguali,
rispondere alle tre domande formulate al punto 1).
Infine per N generico, confrontare la probabilit`a di completare l’album acquistando una sola
bustina nel caso in cui le bustine possano contenere solo 5 figurine tra loro diverse oppure nel
caso in cui le 5 figurine all’interno della confezione possono essere anche uguali tra loro. Cosa
accade al crescere di N?
[1) P1 = 1/18, E[X1] = 18, E[Y1] = 50/9; 2) P2 = 1 − (89/90)^5,
E[X2] ≃ 18.4, E[Y2] ≃ 5.43; in generale P1 = 5/N, P2 = 1 − (1 − 1/N)^5.]
2.
5 Una moneta equilibrata viene lanciata un certo numero n di volte. Si considerino
gli eventi:
A : ”Esce T al pi`u una volta”
B: ”T e C escono almeno una volta ciascuno”.
Si chiede: a) calcolare P(A), P(B), P(A ∩ B); b) ricavare la probabilit`a condizionata P(B|A)
e mostrare che esiste un solo valore di n (e determinarlo) per cui A e B sono indipendenti.
[
P(A) = (n + 1)/2^n, P(B) = (2n−1 − 1)/2^(n−1), P(A ∩ B) = n/2^n, P(B|A) = n/(n + 1), A e B sono indip. per n = 3]
chiedo gentilmente la spiegazione e la risoluzione di questi 2 problemi
2.
Risposte
Per il primo, cerca con google:
Problema del collezionista
Puoi anche guardare questa discussione:
viewtopic.php?f=12&t=141055
Problema del collezionista
Puoi anche guardare questa discussione:
viewtopic.php?f=12&t=141055
per il secondo, iniziamo dal punto A): Testa esce al più una volta
$P(T=0)+P(T=1)=((n),(0))(1/2)^0(1/2)^n+((n),(1))(1/2)^1(1/2)^(n-1)=1/(2^n)+n/(2^n)=(n+1)/2^n$
Punto B): T e C escono almeno una volta ciascuno
$ 1-P (T=0 )-P (C=0 )=1-2/(2^n)=(2^(n-1)-1)/(2^(n-1)) $
$P(A nn B)= P(T=1)=n/(2^n)$
$P(B|A)=(P(A nn B))/(P(A))=n/(2^n)2^n/(n+1)=n/(n+1)$
Ricordiamo che $A$ e $B$ sono indipendenti stocasticamente se e solo se $P(B nn A)=P(A)P(B)$.
Con semplici calcoli algebrici, tale relazione si traduce alla seguente:
$2^(n-1)-n=1$
E' alquanto evidente che tale uguaglianza è verificata se e solo se $n=3$ e quindi si dimostra quanto richiesto.
PS: dalle tue soluzioni si capisce poco...dovresti quindi impegnarti per scrivere le formule in modo leggibile
ciao
$P(T=0)+P(T=1)=((n),(0))(1/2)^0(1/2)^n+((n),(1))(1/2)^1(1/2)^(n-1)=1/(2^n)+n/(2^n)=(n+1)/2^n$
Punto B): T e C escono almeno una volta ciascuno
$ 1-P (T=0 )-P (C=0 )=1-2/(2^n)=(2^(n-1)-1)/(2^(n-1)) $
$P(A nn B)= P(T=1)=n/(2^n)$
$P(B|A)=(P(A nn B))/(P(A))=n/(2^n)2^n/(n+1)=n/(n+1)$
Ricordiamo che $A$ e $B$ sono indipendenti stocasticamente se e solo se $P(B nn A)=P(A)P(B)$.
Con semplici calcoli algebrici, tale relazione si traduce alla seguente:
$2^(n-1)-n=1$
E' alquanto evidente che tale uguaglianza è verificata se e solo se $n=3$ e quindi si dimostra quanto richiesto.
PS: dalle tue soluzioni si capisce poco...dovresti quindi impegnarti per scrivere le formule in modo leggibile
ciao
"tommik":
per il secondo, iniziamo dal punto A): Testa esce al più una volta
$P(T=0)+P(T=1)=((n),(0))(1/2)^0(1/2)^n+((n),(1))(1/2)^1(1/2)^(n-1)=1/(2^n)+n/(2^n)=(n+1)/2^n$
Punto B): T e C escono almeno una volta ciascuno
$ 1-P (T=0 )-P (C=0 )=1-2/(2^n)=(2^(n-1)-1)/(2^(n-1)) $
$P(A nn B)= P(T=1)=n/(2^n)$
$P(B|A)=(P(A nn B))/(P(A))=n/(2^n)2^n/(n+1)=n/(n+1)$
Ricordiamo che $A$ e $B$ sono indipendenti stocasticamente se e solo se $P(B nn A)=P(A)P(B)$.
Con semplici calcoli algebrici, tale relazione si traduce alla seguente:
$2^(n-1)-n=1$
E' alquanto evidente che tale uguaglianza è verificata se e solo se $n=3$ e quindi si dimostra quanto richiesto.
PS: dalle tue soluzioni si capisce poco...dovresti quindi impegnarti per scrivere le formule in modo leggibile
ciao
per prima cosa ti ringrazio per la tua risposta rapida e mi scuso se ho scritto in maniera scomposta il post.
ti chiedo gentilmente di risolvere il 1 problema, se puoi usando , per trovare mediamente le bustine da acquistare (il problema del collezionista che hai citato) , una geometrica.
p.s. mi scuso se ti scoccio troppo ma mi serve per capire! grazie in anticipo della tua disponibilità!
ho modificato il post , rendondo comprensibili le soluzioni.
"nino_":
Per il primo, cerca con google:
Problema del collezionista
Puoi anche guardare questa discussione:
viewtopic.php?f=12&t=141055
per prima cosa ti ringrazio per la tua risposta rapida e mi scuso se ho scritto in maniera scomposta il post.
ti chiedo gentilmente di risolvere il 1 problema, se puoi usando , per trovare mediamente le bustine da acquistare (il problema del collezionista che hai citato) , una geometrica.
p.s. mi scuso se ti scoccio troppo ma mi serve per capire! grazie in anticipo della tua disponibilità!
mikdita
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Iscritto il: 17/01/2016, 12:36
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