Problemi di probabilità

[Tek2]

Salve, avrei alcuni dubbi su tre esercizi di probabilità, su cui, spero, qualcuno mi possa aiutare.

1) Data la pdf di una variabile aleatoria X: $f(x)=t*(x^a)*(e^(-b/x))$, $0<=x Stabilire per quale valore di t questa risulta essere una pdf.

Io proverei a scrivere due condizioni, la prima che l'integrale della f(x) tra 0 e $oo$ sia pari ad 1, ma così trovo un integrale abbastanza complesso da risolvere, quindi imporrei la condizione che la $f(x)>=0$, e quindi avendo una potenza a base positiva e un'esponenziale, sempre positive, si trova che la condizione finale è $t>=0$. Qualcuno sa dirmi se il ragionamento è corretto o, eventualmente, se si fa in un altro modo? Grazie.

2) Ho due campioni di resistenze a compressione, relativi a due diversi componenti. Per ogni campione ho cinque valori. Trovare l'intervallo di confidenza della differenza delle resistenze medie dei due campioni, ad un livello di significatività pari al 95%.

Io a questo punto calcolo prima le due medie, e le chiamo $\bar X_1$ e $\bar X_2$, calcolate facendo la semplice media aritmetica prima dei cinque valori relativi al primo componente, e poi dei secondi cinque valori, relativi al secondo componente. Quindi calcolo la varianza campionaria come media delle due varianze campionarie "pesate" con i rispettivi gradi di libertà, cioè: $S^2=(\sum_{i=1}^5 (X_(1i)-bar X_1)^2 + \sum_{i=1}^5 (X_(2i)-bar X_2)^2)/(5+5-2)$

Scelgo come funzione ancillare la T di Student, avendo la varianza incognita.
Cioè: $((\bar X_1 - bar X_2) - (\mu_1 - mu_2))/(S*(sqrt(1/5 * 1/5)))=T$

Infine, scriverei l'intervallo di confidenza mettendo al centro dell'intervallo $\mu_1 - mu_2$ (cioè la differenza delle resistenze medie. Che ne pensate?

3) Di questo al momento ho meno dati. In pratica so che a una certa distanza da un punto dato un certo numero di orologi si rompe. E quindi ho quattro distanze e il numero degli orologi che si rompe alla data distanza. Voglio formulare un modello (senza calcoli), specificando bene le ipotesi, che mi portano a dire che questa è una distribuzione gaussiana. Purtroppo per questo non ho proprio idee. Cosa dovrei scrivere secondo voi?

Grazie a tutti quelli che mi aiuteranno.

[wnvl]

"Tek":Salve, avrei alcuni dubbi su tre esercizi di probabilità, su cui, spero, qualcuno mi possa aiutare.

1) Data la pdf di una variabile aleatoria X: $f(x)=t*(x^a)*(e^(-b/x))$, $0<=x Stabilire per quale valore di t questa risulta essere una pdf.

Io proverei a scrivere due condizioni, la prima che l'integrale della f(x) tra 0 e $oo$ sia pari ad 1, ma così trovo un integrale abbastanza complesso da risolvere, quindi imporrei la condizione che la $f(x)>=0$, e quindi avendo una potenza a base positiva e un'esponenziale, sempre positive, si trova che la condizione finale è $t>=0$. Qualcuno sa dirmi se il ragionamento è corretto o, eventualmente, se si fa in un altro modo? Grazie.

E' necessario che \(\displaystyle a<-1 \) per avere un integrale convergente a \(\displaystyle +\infty \)

[Tek2]

"wnvl":E' necessario che \(\displaystyle a<-1 \) per avere un integrale convergente a \(\displaystyle +\infty \)

Perchè, scusa?

[wnvl]

Perché se \(\displaystyle x \to \infty \), $f(x)=t*(x^a)*(e^(-b/x)) \propto x^a $