Problemi di calcolo combinatorio e probabilità

[vitto86-votailprof]

1° PROBLEMA
Pierino vuole tentare di aprire una porta usando un mazzo di n chiavi in sequenza,
a partire da una chiave scelta a caso.
Egli non ritenta mai con una chiave già provata.
Si trovi la probabilità di riuscire al k-esimo tentativo, dove 1 <= K <= n

2° PROBLEMA
A Reggio Emilia il 60% degli abitanti possiede una bicicletta, il 40% un motorino, ed il
30% entrambi. Si prende una persona a caso tra quelle che possiedono una bicicletta o un motorino.
Qual'è la probabilità che la persona scelta possieda una bicicletta?

MI POTETE SCRIVERE ANCHE I PASSAGGI?!

[mod="Fioravante Patrone"]Ho tolto dal titolo i caratteri finali, che erano: .....AIUTO!!!, in contrasto con il regolamento del forum[/mod]

[K.Lomax]

Devi ragionarci un po' su.... Bozza un procedimento tuo e avrai un aiuto.

[vitto86-votailprof]

BOZZA 2° PROBLEMA
Ogni 10 persone:
3 hanno ENTRAMBI i mezzi di locomozione.
1 ha SOLO la moto.
3 hanno SOLO la bici.
3 non hanno nulla.
Tra le sette persone dotate di bici OPPURE di moto, 6 hanno ALMENO la bici.

Ma del primo non ho la minima idea!!!

[Umby2]

"vitto86":1° PROBLEMA
Pierino vuole tentare di aprire una porta usando un mazzo di n chiavi in sequenza,
a partire da una chiave scelta a caso.
Egli non ritenta mai con una chiave già provata.
Si trovi la probabilità di riuscire al k-esimo tentativo, dove 1 <= K <= n

Immaginiamo di avere 10 chiavi. La chiave che apre la porta puo' trovarsi in una delle 10 posizioni. Non c'e' alcun motivo per cui una posizione sia differrente da una altra. Pertanto indifferentemente da quale sia il k, la probabilità è sempre la stessa ovvero: $1/10$.

In generale quindi: $1/n$

[K.Lomax]

Il primo esercizio ovviamente non è terminato. La probabilità che riesca al primo tentativo è dunque [tex]\frac{1}{n}[/tex]. La probabilità che invece riesca al secondo tentativo è il prodotto di due probabilità: quella che non riesca al primo tentativo e che vi riesca al secondo. Procedi generalizzando al k-esimo tentativo e formalizzalo.
Formalizza meglio anche il secondo esercizio.

[Umby2]

"Umby":
Immaginiamo di avere 10 chiavi. La chiave che apre la porta puo' trovarsi in una delle 10 posizioni. Non c'e' alcun motivo per cui una posizione sia differrente da una altra. Pertanto indifferentemente da quale sia il k, la probabilità è sempre la stessa ovvero: $1/10$.

"K.Lomax":

Il primo esercizio ovviamente non è terminato. La probabilità che riesca al primo tentativo è dunque [tex]\frac{1}{n}[/tex]. La probabilità che invece riesca al secondo tentativo è il prodotto di due probabilità: quella che non riesca al primo tentativo e che vi riesca al secondo.

Ritieni, quindi, che questa cambia al variare di k ?

[K.Lomax]

Si.

[Umby2]

"K.Lomax":Si.

Considerato che io penso di No, ( si capiva anche da quello che ho scritto... ) possiamo anche confrontarci.

Mi sembra che tu sia d'accordo che per k=1 la probabilità è $1/10$ (come dal mio esempio ho posto n = 10 ). Mi calcoleresti la probabilita' per k = 2, per piacere ?

[K.Lomax]

Io direi che al secondo passo è [tex]pq[/tex] dove [tex]p=1-q=\frac{1}{n}[/tex]; al terzo passo [tex]pq^2[/tex], al k-esimo passo [tex]pq^{k-1}[/tex]. In definitiva si distribuisce geometricamente.

[adaBTTLS1]

se si distinguono i diversi passi, anche p e q devono variare con n ... dunque se $p_(n)=1/10$ è la probabilità che si riesca al primo tentativo, allora $q_(n)*p_(n-1)=9/10*1/9=1/10$ è la probabilità che si riesca al secondo ... o no?

[K.Lomax]

Secondo il ragionamento che ho seguito io, [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] sono delle probabilità calcolate a priori. Dunque, potrei beccare la chiave giusta al primo colpo, e questo avviene con probabilità [tex]p[/tex]. Altrimenti (e questo è un evento che parte sempre dall'inizio, quando quindi tutte le chiavi sono candidate ad essere quella corretta), seguendo il ragionamento fatto nel precedente mio post, potrei beccarla al secondo colpo con probabilità [tex]pq[/tex] e così via....

[Umby2]

"adaBTTLS":
... o no?

... o si ?

[Umby2]

"K.Lomax":Secondo il ragionamento che ho seguito io, [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] sono delle probabilità calcolate a priori. Dunque, potrei beccare la chiave giusta al primo colpo, e questo avviene con probabilità [tex]p[/tex]. Altrimenti (e questo è un evento che parte sempre dall'inizio, quando quindi tutte le chiavi sono candidate ad essere quella corretta), seguendo il ragionamento fatto nel precedente mio post, potrei beccarla al secondo colpo con probabilità [tex]pq[/tex] e così via....

Guarda che lo avevi scritto te stesso che:

"K.Lomax":

La probabilità che invece riesca al secondo tentativo è il prodotto di due probabilità: quella che non riesca al primo tentativo e che vi riesca al secondo. Procedi generalizzando al k-esimo tentativo e formalizzalo.

[K.Lomax]

Si, ma il primo tentativo sempre partendo dall'inizio e non proseguendo...

[Umby2]

"K.Lomax":Si, ma il primo tentativo sempre partendo dall'inizio e non proseguendo...

Non è che capisco cosa intendi dire "primo tentivo" o "proseguendo".

Semplifichiamo il problema:
Ho 4 assi delle carte napoletane. Li mischio e li dispongo sul tavolo a testa in giu'.
Dove si trova l'asso di denari ?
In posizione 1 ( con probabilità $1/4$), cosi' come in posizione 2, o 3, o 4.
Fin qui ci siamo.

Quindi, se giro le 4 carte tutte insieme tu mi dirai che la probabilità è di $1/4$ per ognuna delle 4 posizioni.

Ma se giro una carta alla volta ? Cosa cambia ? Io dico: nulla. Al massimo un matematico piu' masochista potrebbe dire che scoprendo la prima carta la probabilita' è $1/4$. La seconda è $1/3 * (1 - 1/4) = 1/4$. La terza $1/2 * ( 1 - 2/4) = 1/4$. La quarta $1 * (1- 3/4) = 1/4$

Come puoi notare nulla cambia.

Leggi anche L'isola dei famosi.
Quesito leggermente diverso, ma il concetto è sempre lo stesso.