Problemi di calcolo combinatorio
Ciao ragazzi.
Sono alle prese con dei banalissimi problemi di calcolo combinatorio, mi vergogno anche un po' a postarli, ma io proprio non ci arrivo...
Esercizio 1
In quanti modi 8 persone possono sedersi in fila se ci sono 4 coppie e ognuno è vicino al proprio partner?
Io avevo pensato $2!4!$ ovvero, i modi possibili di ordinare una singola coppia per i modi possibili di ordinare tutte le coppi, ma il risultato del libro mi fa capire che non è così...
Esercizio 2
Si devono selezionare 5 studenti di una classe di 30 studenti per assegnare dei premi distinti. In quanti modi si possono selezionare gli studenti se:
(a) uno studente può ricevere più premi
(b) uno studente può ricevere al più un premio
Io sinceramente non vedo differenza tra le due opzioni, secondo me semplicemente bisogna trovare tutti i possibili insieme di 5 persone estraibili da un insieme di 30, ovvero $((30),(5))$ ma non è così... qualcuno mi sa psiegare?
Esercizio 3
Si vogliono distribuire 7 diversi regali a 10 bambini. Quante sono le distribuzioni possibili se nessun bambino può ricevere più di un regalo?
Io credo che le combinazioni possibili siano $10^7$ ma non ne sono sicura visto che specifica che i regali sono diversi... e poi non so come imporre la condizione che non si può ricevere più di un regalo.
Esercizio 4
Si deve formare un comitato di 3 uomini e 3 donne scelti da un gruppo di 8 donne e 6 uomini. Quanti comitati sono possibili se un uomo e una donna rifiutano di sedere vicini?
In tutto ci sono $((6),(3))((8),(3))$ comitati possibili, ma come faccio a imporre la condizione che nessun uomo sieda vicino ad una donna?
Esercizio 5
Un laboratorio di psicologia che conduce degli esperimenti sui sogni dispone di 3 stanze con 2 letti ciascuna. In quanti modi diversi si possono assegnare i letti a 3 coppie di gemelli in modo tale che ogni coppia di gemelli dorma nella stessa stanza?
Qui proprio ho un buoio totale... credo conti la disposizione di tutti i gemelli nei 6 letti, ma oltre a questo.. boh!
Esercizio 6
I delegati di 10 paesi tra i quali Francia, Italia, Gran Bretagna e U.S.A. devono sedersi in fila. In quanti modi lo possono fare se si vuole che i delegati italiani e inglesi siedano vicini e che i delegati francesi e statunitensi non siedano accanto?
Temo di avere grandi difficoltà a capire come tradurre le condizioni imposte in formule...
Esercizio 7
In una competizione sportiva ci sono 10 concorrenti: 3 italiani, 4 russi, 2 francesi e 1 tedesco. Se la graduatoria finale tiene conto soltanto della nazionalità, di quanti sono gli esiti possibili della gara? In quanti di questi esiti l'Italia ha un concorrente tra i primi 3 posti e 2 tra gli ultimi 3?
Dunque, gli esiti possibili sono $frac{10!}{3!4!2!1!}$, ma per la seconda domanda non saprei.
Esercizio 8
Un lotto di 8 lavagne identiche è assegnato a 4 scuole diverse. In quanti modi ciò può essere fatto? E se ogni scuola deve ricevere almeno una lavagna?
Io avevo pensato a $4^8$ per la prima domanda, ma non è così..
Esercizio 9
E' Carnevale, 8 persone si travestono allo steso modo, in modo da sembrare uguali. Esse si recano ad una festa in un edificio a 6 piani, ma non ricordano a quale piano scendere, così ad ogni piano qualcuno decide se scendere o no. In quanti modi ciò può avvenire? Stessa domanda se nel gruppo ci sono 5 persone ugualmente vestite da Zorro e 3 ugualmente vestite da fate.
Io avevo pensato a $((8),(6))$ per il primo quesito, ma è ancora una volta sbagliato
Esercizio 10
Si dispone di un capitale di 20.000 euro e di 4 possibili investimenti. Ogni investimento deve consistere in un numero intero di migliaia di euro, i 4 investimenti richiedono inoltre un investimento minimo rispettivamente di 2,2,3, e 4 mila euro. Quante sono le strategie possibili se:
(a) si deve investire in ognuna della quattro possibilità
(b) si deve investire in almeno 3 delle 4 possibilità
Se mi avesse semplicemente chiesto le strategie per investire nelle 4 opportunità, senza porre condizioni sul minimo investimento, avrei fatto così:
considerandi i 4 investimenti $x_1+x_2+x_3+x_4=20$ e dalla teoria so che ho $((20+4-1),(4-1))$ possibilità, ovvero $((23),(3))$, con queste condizioni però tutto cambia...
So che sono esercizi banali, molto dei quali si somigliano, ma se qualcuno potesse darmi qualche dritta per aiutarmi a capire come si impostano questi problemi, gli sarei veramente grata.
Grazie
Sono alle prese con dei banalissimi problemi di calcolo combinatorio, mi vergogno anche un po' a postarli, ma io proprio non ci arrivo...
Esercizio 1
In quanti modi 8 persone possono sedersi in fila se ci sono 4 coppie e ognuno è vicino al proprio partner?
Io avevo pensato $2!4!$ ovvero, i modi possibili di ordinare una singola coppia per i modi possibili di ordinare tutte le coppi, ma il risultato del libro mi fa capire che non è così...
Esercizio 2
Si devono selezionare 5 studenti di una classe di 30 studenti per assegnare dei premi distinti. In quanti modi si possono selezionare gli studenti se:
(a) uno studente può ricevere più premi
(b) uno studente può ricevere al più un premio
Io sinceramente non vedo differenza tra le due opzioni, secondo me semplicemente bisogna trovare tutti i possibili insieme di 5 persone estraibili da un insieme di 30, ovvero $((30),(5))$ ma non è così... qualcuno mi sa psiegare?
Esercizio 3
Si vogliono distribuire 7 diversi regali a 10 bambini. Quante sono le distribuzioni possibili se nessun bambino può ricevere più di un regalo?
Io credo che le combinazioni possibili siano $10^7$ ma non ne sono sicura visto che specifica che i regali sono diversi... e poi non so come imporre la condizione che non si può ricevere più di un regalo.
Esercizio 4
Si deve formare un comitato di 3 uomini e 3 donne scelti da un gruppo di 8 donne e 6 uomini. Quanti comitati sono possibili se un uomo e una donna rifiutano di sedere vicini?
In tutto ci sono $((6),(3))((8),(3))$ comitati possibili, ma come faccio a imporre la condizione che nessun uomo sieda vicino ad una donna?
Esercizio 5
Un laboratorio di psicologia che conduce degli esperimenti sui sogni dispone di 3 stanze con 2 letti ciascuna. In quanti modi diversi si possono assegnare i letti a 3 coppie di gemelli in modo tale che ogni coppia di gemelli dorma nella stessa stanza?
Qui proprio ho un buoio totale... credo conti la disposizione di tutti i gemelli nei 6 letti, ma oltre a questo.. boh!
Esercizio 6
I delegati di 10 paesi tra i quali Francia, Italia, Gran Bretagna e U.S.A. devono sedersi in fila. In quanti modi lo possono fare se si vuole che i delegati italiani e inglesi siedano vicini e che i delegati francesi e statunitensi non siedano accanto?
Temo di avere grandi difficoltà a capire come tradurre le condizioni imposte in formule...
Esercizio 7
In una competizione sportiva ci sono 10 concorrenti: 3 italiani, 4 russi, 2 francesi e 1 tedesco. Se la graduatoria finale tiene conto soltanto della nazionalità, di quanti sono gli esiti possibili della gara? In quanti di questi esiti l'Italia ha un concorrente tra i primi 3 posti e 2 tra gli ultimi 3?
Dunque, gli esiti possibili sono $frac{10!}{3!4!2!1!}$, ma per la seconda domanda non saprei.
Esercizio 8
Un lotto di 8 lavagne identiche è assegnato a 4 scuole diverse. In quanti modi ciò può essere fatto? E se ogni scuola deve ricevere almeno una lavagna?
Io avevo pensato a $4^8$ per la prima domanda, ma non è così..
Esercizio 9
E' Carnevale, 8 persone si travestono allo steso modo, in modo da sembrare uguali. Esse si recano ad una festa in un edificio a 6 piani, ma non ricordano a quale piano scendere, così ad ogni piano qualcuno decide se scendere o no. In quanti modi ciò può avvenire? Stessa domanda se nel gruppo ci sono 5 persone ugualmente vestite da Zorro e 3 ugualmente vestite da fate.
Io avevo pensato a $((8),(6))$ per il primo quesito, ma è ancora una volta sbagliato
Esercizio 10
Si dispone di un capitale di 20.000 euro e di 4 possibili investimenti. Ogni investimento deve consistere in un numero intero di migliaia di euro, i 4 investimenti richiedono inoltre un investimento minimo rispettivamente di 2,2,3, e 4 mila euro. Quante sono le strategie possibili se:
(a) si deve investire in ognuna della quattro possibilità
(b) si deve investire in almeno 3 delle 4 possibilità
Se mi avesse semplicemente chiesto le strategie per investire nelle 4 opportunità, senza porre condizioni sul minimo investimento, avrei fatto così:
considerandi i 4 investimenti $x_1+x_2+x_3+x_4=20$ e dalla teoria so che ho $((20+4-1),(4-1))$ possibilità, ovvero $((23),(3))$, con queste condizioni però tutto cambia...
So che sono esercizi banali, molto dei quali si somigliano, ma se qualcuno potesse darmi qualche dritta per aiutarmi a capire come si impostano questi problemi, gli sarei veramente grata.
Grazie
Risposte
#1
Ci sei quasi arrivata, solo che devi considerare che in ogni coppia puoi fare lo scambio dei posti:
$4!*2*2*2*2=4!*2^4$
Ci sei quasi arrivata, solo che devi considerare che in ogni coppia puoi fare lo scambio dei posti:
$4!*2*2*2*2=4!*2^4$
#2 Credo proprio che intenda che si puo' selezionare piu' volte uno stesso studente, per esempio pescando ogni volta un nome in modo casuale. Allora i casi (a) e (b) si traducono cosi':
a) estrazione con reinserimento
b) estrazione senza reinserimento
Quindi nel caso (a) trovi il numero di sequenze di 5 oggetti presi da un insieme di 30 (quindi $30^5$), e nel caso (b) trovi il numero di disposizioni di 5 elementi in un insieme di 30 (dato che i premi sono diversi devi contare l'ordine), quindi $D(30,5)= 5! ((30),(5))$.
a) estrazione con reinserimento
b) estrazione senza reinserimento
Quindi nel caso (a) trovi il numero di sequenze di 5 oggetti presi da un insieme di 30 (quindi $30^5$), e nel caso (b) trovi il numero di disposizioni di 5 elementi in un insieme di 30 (dato che i premi sono diversi devi contare l'ordine), quindi $D(30,5)= 5! ((30),(5))$.
Ciao ragazzi.
Grazie mille per le risposte, con il vostro aiuto mi sono sbloccata un po' su alcuni problemi, ma altri restano....
Esercizio 3 (RISOLTO,MA E' GIUSTO COSI'?)
Si vogliono distribuire 7 diversi regali a 10 bambini. Quante sono le distribuzioni possibili se nessun bambino può ricevere più di un regalo?
Ho pensato che l'ordine conta perchè i regali da distribuire sono diversi, quindi avremo $5!((30),(5))$ corretto secondo voi?
Esercizio 4 (RISOLTO,MA E' GIUSTO COSI'?)
Si deve formare un comitato di 3 uomini e 3 donne scelti da un gruppo di 8 donne e 6 uomini. Quanti comitati sono possibili se un uomo e una donna rifiutano di sedere vicini?
In tutto ci sono $((6),(3))((8),(3))$ comitati possibili e a questi devo togliere quelli in cui un uomo e una donna siedono vicini, ovvero $((1),(1))((7),(2)).((1),(1))((5),(2))$ corretto il ragionamento?
Esercizio 8 (RISOLTO,MA E' GIUSTO COSI'?)
Un lotto di 8 lavagne identiche è assegnato a 4 scuole diverse. In quanti modi ciò può essere fatto? E se ogni scuola deve ricevere almeno una lavagna?
Ho pensato che l'ordine non conta perchè le lavagne sono identiche, quindi avremo $((8+3-1),(4-1))$
Per il secondo caso invece ho pensato che dovevo considerare innanzittutto gli insiemi di 4 elementi su 8 (ovvero la condizione che ogni scuola riceve una lavagna) e poi gli insiemi di 4 sulle lavagne rimanenti: $((8),(4))((4),(4))$, il ragionamento è giusto?
Esercizio 9 (RISOLTO,MA E' GIUSTO COSI'?)
E' Carnevale, 8 persone si travestono allo steso modo, in modo da sembrare uguali. Esse si recano ad una festa in un edificio a 6 piani, ma non ricordano a quale piano scendere, così ad ogni piano qualcuno decide se scendere o no. In quanti modi ciò può avvenire? Stessa domanda se nel gruppo ci sono 5 persone ugualmente vestite da Zorro e 3 ugualmente vestite da fate.
Nel primo caso ho pensato che l'ordine non conta perchè i bambini sono vestiti uguali, quindi semplicemente avremo da trovare gli insiemi di 6 elementi scelti tra 8 in cui un elemento può comparire più volte, perchè in un piano può scendere più di un bambino: $((6+8-1),(6-1))$.
Nel secondo caso idem, ma devo combinare il fatto che ci sono 3 gruppi diversi, ovvero zorro e le fate: $((6+5-1),(6-1)).((6+3-1),(6-1))$
Per gli altri hio provato e riprovato senza capire nulla.... Qualcuno mi sa aiutare? Grazie
Esercizio 5
Un laboratorio di psicologia che conduce degli esperimenti sui sogni dispone di 3 stanze con 2 letti ciascuna. In quanti modi diversi si possono assegnare i letti a 3 coppie di gemelli in modo tale che ogni coppia di gemelli dorma nella stessa stanza?
Qui proprio ho un buoio totale... credo conti la disposizione di tutti i gemelli nei 6 letti, ma oltre a questo.. boh!
Esercizio 6
I delegati di 10 paesi tra i quali Francia, Italia, Gran Bretagna e U.S.A. devono sedersi in fila. In quanti modi lo possono fare se si vuole che i delegati italiani e inglesi siedano vicini e che i delegati francesi e statunitensi non siedano accanto?
Temo di avere grandi difficoltà a capire come tradurre le condizioni imposte in formule...
Esercizio 7
In una competizione sportiva ci sono 10 concorrenti: 3 italiani, 4 russi, 2 francesi e 1 tedesco. Se la graduatoria finale tiene conto soltanto della nazionalità, di quanti sono gli esiti possibili della gara? In quanti di questi esiti l'Italia ha un concorrente tra i primi 3 posti e 2 tra gli ultimi 3?
Dunque, gli esiti possibili sono $frac{10!}{3!4!2!1!}$, ma per la seconda domanda non saprei.
Esercizio 10
Si dispone di un capitale di 20.000 euro e di 4 possibili investimenti. Ogni investimento deve consistere in un numero intero di migliaia di euro, i 4 investimenti richiedono inoltre un investimento minimo rispettivamente di 2,2,3, e 4 mila euro. Quante sono le strategie possibili se:
(a) si deve investire in ognuna della quattro possibilità
(b) si deve investire in almeno 3 delle 4 possibilità
Se mi avesse semplicemente chiesto le strategie per investire nelle 4 opportunità, senza porre condizioni sul minimo investimento, avrei fatto così:
considerandi i 4 investimenti $x_1+x_2+x_3+x_4=20$ e dalla teoria so che ho $((20+4-1),(4-1))$ possibilità, ovvero $((23),(3))$, con queste condizioni però tutto cambia...
Grazie mille per le risposte, con il vostro aiuto mi sono sbloccata un po' su alcuni problemi, ma altri restano....
Esercizio 3 (RISOLTO,MA E' GIUSTO COSI'?)
Si vogliono distribuire 7 diversi regali a 10 bambini. Quante sono le distribuzioni possibili se nessun bambino può ricevere più di un regalo?
Ho pensato che l'ordine conta perchè i regali da distribuire sono diversi, quindi avremo $5!((30),(5))$ corretto secondo voi?
Esercizio 4 (RISOLTO,MA E' GIUSTO COSI'?)
Si deve formare un comitato di 3 uomini e 3 donne scelti da un gruppo di 8 donne e 6 uomini. Quanti comitati sono possibili se un uomo e una donna rifiutano di sedere vicini?
In tutto ci sono $((6),(3))((8),(3))$ comitati possibili e a questi devo togliere quelli in cui un uomo e una donna siedono vicini, ovvero $((1),(1))((7),(2)).((1),(1))((5),(2))$ corretto il ragionamento?
Esercizio 8 (RISOLTO,MA E' GIUSTO COSI'?)
Un lotto di 8 lavagne identiche è assegnato a 4 scuole diverse. In quanti modi ciò può essere fatto? E se ogni scuola deve ricevere almeno una lavagna?
Ho pensato che l'ordine non conta perchè le lavagne sono identiche, quindi avremo $((8+3-1),(4-1))$
Per il secondo caso invece ho pensato che dovevo considerare innanzittutto gli insiemi di 4 elementi su 8 (ovvero la condizione che ogni scuola riceve una lavagna) e poi gli insiemi di 4 sulle lavagne rimanenti: $((8),(4))((4),(4))$, il ragionamento è giusto?
Esercizio 9 (RISOLTO,MA E' GIUSTO COSI'?)
E' Carnevale, 8 persone si travestono allo steso modo, in modo da sembrare uguali. Esse si recano ad una festa in un edificio a 6 piani, ma non ricordano a quale piano scendere, così ad ogni piano qualcuno decide se scendere o no. In quanti modi ciò può avvenire? Stessa domanda se nel gruppo ci sono 5 persone ugualmente vestite da Zorro e 3 ugualmente vestite da fate.
Nel primo caso ho pensato che l'ordine non conta perchè i bambini sono vestiti uguali, quindi semplicemente avremo da trovare gli insiemi di 6 elementi scelti tra 8 in cui un elemento può comparire più volte, perchè in un piano può scendere più di un bambino: $((6+8-1),(6-1))$.
Nel secondo caso idem, ma devo combinare il fatto che ci sono 3 gruppi diversi, ovvero zorro e le fate: $((6+5-1),(6-1)).((6+3-1),(6-1))$
Per gli altri hio provato e riprovato senza capire nulla.... Qualcuno mi sa aiutare? Grazie
Esercizio 5
Un laboratorio di psicologia che conduce degli esperimenti sui sogni dispone di 3 stanze con 2 letti ciascuna. In quanti modi diversi si possono assegnare i letti a 3 coppie di gemelli in modo tale che ogni coppia di gemelli dorma nella stessa stanza?
Qui proprio ho un buoio totale... credo conti la disposizione di tutti i gemelli nei 6 letti, ma oltre a questo.. boh!
Esercizio 6
I delegati di 10 paesi tra i quali Francia, Italia, Gran Bretagna e U.S.A. devono sedersi in fila. In quanti modi lo possono fare se si vuole che i delegati italiani e inglesi siedano vicini e che i delegati francesi e statunitensi non siedano accanto?
Temo di avere grandi difficoltà a capire come tradurre le condizioni imposte in formule...
Esercizio 7
In una competizione sportiva ci sono 10 concorrenti: 3 italiani, 4 russi, 2 francesi e 1 tedesco. Se la graduatoria finale tiene conto soltanto della nazionalità, di quanti sono gli esiti possibili della gara? In quanti di questi esiti l'Italia ha un concorrente tra i primi 3 posti e 2 tra gli ultimi 3?
Dunque, gli esiti possibili sono $frac{10!}{3!4!2!1!}$, ma per la seconda domanda non saprei.
Esercizio 10
Si dispone di un capitale di 20.000 euro e di 4 possibili investimenti. Ogni investimento deve consistere in un numero intero di migliaia di euro, i 4 investimenti richiedono inoltre un investimento minimo rispettivamente di 2,2,3, e 4 mila euro. Quante sono le strategie possibili se:
(a) si deve investire in ognuna della quattro possibilità
(b) si deve investire in almeno 3 delle 4 possibilità
Se mi avesse semplicemente chiesto le strategie per investire nelle 4 opportunità, senza porre condizioni sul minimo investimento, avrei fatto così:
considerandi i 4 investimenti $x_1+x_2+x_3+x_4=20$ e dalla teoria so che ho $((20+4-1),(4-1))$ possibilità, ovvero $((23),(3))$, con queste condizioni però tutto cambia...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo