Problemi con le carte
Ciao a tutti, vorrei chiedervi aiuto su un paio di problemini che mi stanno facendo andare fuori di testa, nonostante si tratti di casi banali..
1- Si tratta del solito problema di travare la probabilità di avere un tris servito durante una partita di poker con le carte dal 7 all' Asso.
I casi possibili sono le combinazioni: $C(32, 5)$, e fin qui tutto ok..
Poi, delle 5 carte in mano, se ne avranno 3 dello stesso valore prese tra i 4 semi, quindi $C(4, 3)$, una presa da un altro seme $C(4, 1)$, e l' ultima da una altro seme $C(4, 1)$
Le prime tre carte saranno scelte tra 3 semi diversi, quindi saranno le disposizioni degli 8 valori a 3 a 3: $D(8, 3)$, la quarta carta sarà scelta tra le rimanenti 7x4 carte (per evitare di fare poker), e l' ultima tra 6x4 carte (per evitare la coppia con la quarta carta).
Quindi in definitiva a me risulta che la probabilità è: $((8*7*6)(7*4)(6*4)((4),(3))((4),(1))((4),(1)))/((32),(5))$
mentre in tutte le soluzioni danno: $(8(7*6)/2((4),(3))((4),(1))((4),(1)))/((32),(5))$
Cosa c'è che non va ?
2- Con un mazzo di carte da briscola, vengono distribuite 4 carte, si vuole la probabilità di avere almeno una coppia.
Il numero di casi possibili sono le combinazioni $C(40, 4)$. Poi data una scala di 10 valori, le possibili coppie saranno individuate da $C(4,2)D(10,2)$, cioè la prima carta tra 10 valori, mentre la seconda tra 9.
Le ultime 2 carte saranno scelte tra i rimanti 8 e 7 valori.
Quindi la probabilità in definitiva sara: $(C(4,2)D(10,2)(8*4)(7*4))/((40),(4))$
E di nuovo mi trovo in errore, perchè i risultati proposti sono:
a)$1 - (4^4)/((40),(4))$
b)$1 - (((10),(4))(4^4))/((40),(4))$
c)$1 - (((10),(4))4)/((40),(4))$
d)$1 - ((10),(4))/((40),(4))$
Evidentemente sto facendo qualche grosso errore di ragionamento..
Senza contare che non riesco bene a focalizzare cosa si intenda con "almeno" una coppia..
Grazie a tutti..
1- Si tratta del solito problema di travare la probabilità di avere un tris servito durante una partita di poker con le carte dal 7 all' Asso.
I casi possibili sono le combinazioni: $C(32, 5)$, e fin qui tutto ok..
Poi, delle 5 carte in mano, se ne avranno 3 dello stesso valore prese tra i 4 semi, quindi $C(4, 3)$, una presa da un altro seme $C(4, 1)$, e l' ultima da una altro seme $C(4, 1)$
Le prime tre carte saranno scelte tra 3 semi diversi, quindi saranno le disposizioni degli 8 valori a 3 a 3: $D(8, 3)$, la quarta carta sarà scelta tra le rimanenti 7x4 carte (per evitare di fare poker), e l' ultima tra 6x4 carte (per evitare la coppia con la quarta carta).
Quindi in definitiva a me risulta che la probabilità è: $((8*7*6)(7*4)(6*4)((4),(3))((4),(1))((4),(1)))/((32),(5))$
mentre in tutte le soluzioni danno: $(8(7*6)/2((4),(3))((4),(1))((4),(1)))/((32),(5))$
Cosa c'è che non va ?
2- Con un mazzo di carte da briscola, vengono distribuite 4 carte, si vuole la probabilità di avere almeno una coppia.
Il numero di casi possibili sono le combinazioni $C(40, 4)$. Poi data una scala di 10 valori, le possibili coppie saranno individuate da $C(4,2)D(10,2)$, cioè la prima carta tra 10 valori, mentre la seconda tra 9.
Le ultime 2 carte saranno scelte tra i rimanti 8 e 7 valori.
Quindi la probabilità in definitiva sara: $(C(4,2)D(10,2)(8*4)(7*4))/((40),(4))$
E di nuovo mi trovo in errore, perchè i risultati proposti sono:
a)$1 - (4^4)/((40),(4))$
b)$1 - (((10),(4))(4^4))/((40),(4))$
c)$1 - (((10),(4))4)/((40),(4))$
d)$1 - ((10),(4))/((40),(4))$
Evidentemente sto facendo qualche grosso errore di ragionamento..
Senza contare che non riesco bene a focalizzare cosa si intenda con "almeno" una coppia..Grazie a tutti..
Risposte
Provo a dare risposta alla prima domanda.
Il metodo che seguo è semplice, magari mi sfugge qualcosa, ma magari riesco a dirti qualcosa di utile.
Il numero di combinazioni possibili in termini delle 5 carte servite è, come tu hai detto; $C(32,5)$
adesso mi interessa sapere quanti tris ci sono nel mazzo, considerando che dvo avere 3 carte "dello stesso valore"
il numero di tris è $C(4,3)*8=32$ dove otto è il numero di "valori"
dunque mi serve anche sapere quanti sottoinsiemi di $3$ carte ci sono nell'insieme di $5$ carte.
quindi:
P(avere un tris servito)=$(C(5,3)*32)/(C(32,5))=0,001589..$
che ne pensi?
per il secondo quesito non ho idea di cosa sia una coppia nel gioco della briscola.
Il metodo che seguo è semplice, magari mi sfugge qualcosa, ma magari riesco a dirti qualcosa di utile.
Il numero di combinazioni possibili in termini delle 5 carte servite è, come tu hai detto; $C(32,5)$
adesso mi interessa sapere quanti tris ci sono nel mazzo, considerando che dvo avere 3 carte "dello stesso valore"
il numero di tris è $C(4,3)*8=32$ dove otto è il numero di "valori"
dunque mi serve anche sapere quanti sottoinsiemi di $3$ carte ci sono nell'insieme di $5$ carte.
quindi:
P(avere un tris servito)=$(C(5,3)*32)/(C(32,5))=0,001589..$
che ne pensi?
per il secondo quesito non ho idea di cosa sia una coppia nel gioco della briscola.
Ho avuto troppa fretta, a meno di essemi dimenticato anche di altro, bisogna escludere quelle combinazioni che si possono generare partendo da un tris ovvero: poker,full,...(forse altro, non conosco bene tutti i punti del poker e questo è un problema).
Per il primo, ho tenuto conto del fatto che non vengano fuori poker e full in questo modo: la 4a carta non deve avere lo stesso valore delle prime 3, altrimenti si ha un poker, quindi verrà scelta tra le 7x4 rimaneti, la quinta non dovrà essere scelta tra il valore delle prime 3 (per evitare il poker) e della 4a(per evitare la coppia e quindi il full) quindi sarà scelta fra i rimanenti 5 valori per 4 carte a valore.
Nel secondo non è importante il fatto che si giochi a briscola, anche per non si sta giocando, si stanno solo prendendo in considerazione quel tipo di carte (trevigiane per intenderci insomma). Una coppia è ad esempio composta da 2 cavalli, 2 sette, eccetera..
EDIT: nel primo ho trovato un errore, ma non ho risoto completamente, quando nel primo post, ho scritto $((4),(1))$ di fatto stavo già considerando le 4 combinazioni che si hanno per ogni valore, quindi non devo moltiplicare di nuovo il 7 ed il 6 per 4.ù
EDIT 2: sempre sul primo ho notato un errore madornarle, quando vado a considerare i vari valori che possono assumenre le ultime 2 carte, devo considerare le loro combinazione, non distribuzioni, appunto perchè non mi interessa il loro ordine, quindi per ora sono arrivato a dire:
$((8*7*6)(7*6)/2((4),(3))((4),(1))((4),(1)))/((32),(5))$
Ma manca ancora qualche altra considerazione evidentemente..
EDIT 3, girovagando per Internet credo di aver risolto il secondo: in effetti la chiave era proprio quel' "almeno". Per trovare le combinazione con almeno una coppia si deve fare la differerenza tra tutti i casi possibili (che quindi ha probabilità 1) meno tutte le combinazioni che non hanno sicuramente una coppia.
Quindi direi che la risposta corretta è la C, perchè dal caaso certo tolgo tutte le combinazioni non ordinate di 4 carte scelte tra le 10 di un valore, e poi si moltiplica per 4, perchp ho 4 semi, giusto ?
Nel secondo non è importante il fatto che si giochi a briscola, anche per non si sta giocando, si stanno solo prendendo in considerazione quel tipo di carte (trevigiane per intenderci insomma). Una coppia è ad esempio composta da 2 cavalli, 2 sette, eccetera..
EDIT: nel primo ho trovato un errore, ma non ho risoto completamente, quando nel primo post, ho scritto $((4),(1))$ di fatto stavo già considerando le 4 combinazioni che si hanno per ogni valore, quindi non devo moltiplicare di nuovo il 7 ed il 6 per 4.ù
EDIT 2: sempre sul primo ho notato un errore madornarle, quando vado a considerare i vari valori che possono assumenre le ultime 2 carte, devo considerare le loro combinazione, non distribuzioni, appunto perchè non mi interessa il loro ordine, quindi per ora sono arrivato a dire:
$((8*7*6)(7*6)/2((4),(3))((4),(1))((4),(1)))/((32),(5))$
Ma manca ancora qualche altra considerazione evidentemente..
EDIT 3, girovagando per Internet credo di aver risolto il secondo: in effetti la chiave era proprio quel' "almeno". Per trovare le combinazione con almeno una coppia si deve fare la differerenza tra tutti i casi possibili (che quindi ha probabilità 1) meno tutte le combinazioni che non hanno sicuramente una coppia.
Quindi direi che la risposta corretta è la C, perchè dal caaso certo tolgo tutte le combinazioni non ordinate di 4 carte scelte tra le 10 di un valore, e poi si moltiplica per 4, perchp ho 4 semi, giusto ?
"stefano_89":
EDIT 3, girovagando per Internet credo di aver risolto il secondo: in effetti la chiave era proprio quel' "almeno". Per trovare le combinazione con almeno una coppia si deve fare la differerenza tra tutti i casi possibili (che quindi ha probabilità 1) meno tutte le combinazioni che non hanno sicuramente una coppia.
Quindi direi che la risposta corretta è la C, perchè dal caaso certo tolgo tutte le combinazioni non ordinate di 4 carte scelte tra le 10 di un valore, e poi si moltiplica per 4, perchp ho 4 semi, giusto ?
a me sembra più la B.
Per ognuna delle combinazioni che trovi con il $((10),(4))$, ad esempio:
[1-2-3-4]
Ognuna delle 4 carte puo' assumere 4 semi diversi (...ognuna...), quindi $4^4$
Che ne pensi ?
mmh io in realtà le prime 2 le ho scartate subito, perchè quel tipo di numeratore deriva solo da distribuzioni con ripetizione, ed in questo esercizio non ci possono cercamente essere ripetizioni. Cosa non ti torna del mio ragionamento ?
"stefano_89":
mmh io in realtà le prime 2 le ho scartate subito, perchè quel tipo di numeratore deriva solo da distribuzioni con ripetizione, ed in questo esercizio non ci possono cercamente essere ripetizioni. Cosa non ti torna del mio ragionamento ?
Immagina che hai 4 carte in mano (Asso, 2 , 3, 4)
Ognuna delle 4 carte puoi avere 4 semi diversi.
Quante tipologie di combinazioni puoi avere ?
"Umby":
[quote="stefano_89"]mmh io in realtà le prime 2 le ho scartate subito, perchè quel tipo di numeratore deriva solo da distribuzioni con ripetizione, ed in questo esercizio non ci possono cercamente essere ripetizioni. Cosa non ti torna del mio ragionamento ?
Immagina che hai 4 carte in mano (Asso, 2 , 3, 4)
Ognuna delle 4 carte puoi avere 4 semi diversi.
Quante tipologie di combinazioni puoi avere ?[/quote]
aaah è vero non ci avevo proprio pensato, cioè, ogni carta puoi essere scelta tra i 4 semi, quindi in totale ci sono $4^4$ modi di averle, giusto..
e per il primo esercizio hai qualche idea ?
Parlerò della prima domanda; dico subito che ho delle risposte ma, alla fine, anche delle domande.
Il punto era: quale è la probabilità di avere un tris servito a poker, giocando con carte dal 7 all’asso? (dove si intende un tris e niente di più).
Ho trovato 2 procedure:
1) per trovare il numero di casi (insiemi di 5 carte) favorevoli:
$(C(4,3)*8*C(4,1)*7*C(4,1)*6)/(2!)=10752$
Dove il primo membro (combinazioni per ogni “valore” per il numero di “valori”) rappresenta il numero di tris nel mazzo; il secondo membro rappresenta le possibili “quarta carta” che non identificano un poker (escludiamo il “valore” del tris); il terzo membro invece contiene le possibili “quinta carta” ovvero il numero di carte che non generano ne un poker partendo dal precedente tris ne una coppia con la quarta carta. Il tutto è diviso per il fattoriale di 2 perché l’ordine con cui arrivano la quarta e quinta carta non contano.
Successivamente basta dividere per il numero di casi possibili $C(32,5)$ e si ottiene la prob. di fare tris.
$P(tris)=10752/201376=5,3392...%$
Che coincide con la prob. indicata come corretta nella soluzione data nella domanda iniziale.
2)alternativamente si può (ed è questo che cercavo di fare all’inizio) procedere così:
il numero di sottoinsiemi di tre carte presenti nel mazzo è $C(32,3)$ il numero di tris è invece $8*C(4,3)=32$ il numero di sottoinsiemi di 3 carte serviti al giocatore vale $C(5,3)$.
Quindi la prob. che il giocatore abbia ricevuto un tris PIU’ due carte ignote vale:
$P(tris,x,x)=C(5,3)*(32/(C(32,3)))=6,4516...%$
Che chiaramente è maggiore di $P(tris)$, perché lasciamo la porta aperta a poker e full.
Adesso se ho in mano il tris, e delle altre 2 carte non so nulla, vorrei sapere quante coppie restano nel mazzo? $7*(4,2)=42$. Quanti sottoinsiemi di 2 carte ci sono nelle restanti 29 carte? $C(29,2)$.
Siccome deve essere servito (o semplicemente si deve ancora guardare) un solo sottoinsieme di 2 carte, la prob. di avere una coppia è:
$P(COPPIA|tris,x,x)=42/(C(29,2))=10,344...%$ che si può interpretare come la prob. di fare il full condizionalmente ad avere il tris,x,x.
Adesso, la prob. di fare full (evento congiunto tris e coppia)
$P(FULL)=P(COPPIA|tris,x,x)*P(tris,x,x)=0,6674...%$
(anche calcolando $P(FULL)$ per via diversa, ovvero con il metodo 1, viene uguale)
$P(FULL)=(8*C(4,3)*7*C(4,2))/(C(32,5))=0,6674...%$
Adesso manca la prob. di fare poker, se procediamo con il metodo 1
$P(poker)=(8*C(4,4)*7*C(4,1))/(C(32,5))=0,112...%$
Che si può anche calcolare come
$P(poker)=(8*C(4,4)*C(5,4))/(C(32,4))=0,112...%$
Però, e qui mi rimane qualche perplessità, evidentemente non ci serve la prob. di fare poker ma:
posso dire che la prob. di pescare il quarto “valore” alla quarta carta o alla quinta, partendo dalla situazione tris,x,x, sapendo che ci sono solo più 29 carte vale $2/29$ che, credo, si possa interpretare come $P(poker|tris,x,x)=6,896...%$
poi la prob. di fare poker rappresenta l’evento congiunto di fare tris,x,x e pescare alla quarta o quinta carta il valore mancante, quindi sembrerebbe:
$P(poker)?= P(poker|tris,x,x)*P(tris,x,x)=0,4449...%$
E facendo $P(tris,x,x)-P(FULL)-P(poker)?=P(tris)= 5,3392...%$ che sappiamo essere la soluzione corretta.
Però sono sicuro che $P(poker)=0,1112...%$ e non $0,4449..%$ che, guarda caso, è il quadruplo.
Mi rimangono quindi dubbi interpretativi su
$P(poker)?= P(poker|tris,x,x)*P(tris,x,x)=0,4449..%$ che è, quindi, la prob. di fare quattro poker, perchè? Cosa ne pensate?
Il punto era: quale è la probabilità di avere un tris servito a poker, giocando con carte dal 7 all’asso? (dove si intende un tris e niente di più).
Ho trovato 2 procedure:
1) per trovare il numero di casi (insiemi di 5 carte) favorevoli:
$(C(4,3)*8*C(4,1)*7*C(4,1)*6)/(2!)=10752$
Dove il primo membro (combinazioni per ogni “valore” per il numero di “valori”) rappresenta il numero di tris nel mazzo; il secondo membro rappresenta le possibili “quarta carta” che non identificano un poker (escludiamo il “valore” del tris); il terzo membro invece contiene le possibili “quinta carta” ovvero il numero di carte che non generano ne un poker partendo dal precedente tris ne una coppia con la quarta carta. Il tutto è diviso per il fattoriale di 2 perché l’ordine con cui arrivano la quarta e quinta carta non contano.
Successivamente basta dividere per il numero di casi possibili $C(32,5)$ e si ottiene la prob. di fare tris.
$P(tris)=10752/201376=5,3392...%$
Che coincide con la prob. indicata come corretta nella soluzione data nella domanda iniziale.
2)alternativamente si può (ed è questo che cercavo di fare all’inizio) procedere così:
il numero di sottoinsiemi di tre carte presenti nel mazzo è $C(32,3)$ il numero di tris è invece $8*C(4,3)=32$ il numero di sottoinsiemi di 3 carte serviti al giocatore vale $C(5,3)$.
Quindi la prob. che il giocatore abbia ricevuto un tris PIU’ due carte ignote vale:
$P(tris,x,x)=C(5,3)*(32/(C(32,3)))=6,4516...%$
Che chiaramente è maggiore di $P(tris)$, perché lasciamo la porta aperta a poker e full.
Adesso se ho in mano il tris, e delle altre 2 carte non so nulla, vorrei sapere quante coppie restano nel mazzo? $7*(4,2)=42$. Quanti sottoinsiemi di 2 carte ci sono nelle restanti 29 carte? $C(29,2)$.
Siccome deve essere servito (o semplicemente si deve ancora guardare) un solo sottoinsieme di 2 carte, la prob. di avere una coppia è:
$P(COPPIA|tris,x,x)=42/(C(29,2))=10,344...%$ che si può interpretare come la prob. di fare il full condizionalmente ad avere il tris,x,x.
Adesso, la prob. di fare full (evento congiunto tris e coppia)
$P(FULL)=P(COPPIA|tris,x,x)*P(tris,x,x)=0,6674...%$
(anche calcolando $P(FULL)$ per via diversa, ovvero con il metodo 1, viene uguale)
$P(FULL)=(8*C(4,3)*7*C(4,2))/(C(32,5))=0,6674...%$
Adesso manca la prob. di fare poker, se procediamo con il metodo 1
$P(poker)=(8*C(4,4)*7*C(4,1))/(C(32,5))=0,112...%$
Che si può anche calcolare come
$P(poker)=(8*C(4,4)*C(5,4))/(C(32,4))=0,112...%$
Però, e qui mi rimane qualche perplessità, evidentemente non ci serve la prob. di fare poker ma:
posso dire che la prob. di pescare il quarto “valore” alla quarta carta o alla quinta, partendo dalla situazione tris,x,x, sapendo che ci sono solo più 29 carte vale $2/29$ che, credo, si possa interpretare come $P(poker|tris,x,x)=6,896...%$
poi la prob. di fare poker rappresenta l’evento congiunto di fare tris,x,x e pescare alla quarta o quinta carta il valore mancante, quindi sembrerebbe:
$P(poker)?= P(poker|tris,x,x)*P(tris,x,x)=0,4449...%$
E facendo $P(tris,x,x)-P(FULL)-P(poker)?=P(tris)= 5,3392...%$ che sappiamo essere la soluzione corretta.
Però sono sicuro che $P(poker)=0,1112...%$ e non $0,4449..%$ che, guarda caso, è il quadruplo.
Mi rimangono quindi dubbi interpretativi su
$P(poker)?= P(poker|tris,x,x)*P(tris,x,x)=0,4449..%$ che è, quindi, la prob. di fare quattro poker, perchè? Cosa ne pensate?
riguardo al primo esercizio. finalmente ho capito l' errore che stavo facendo, stavo (chissà perchè poi) consideranto il tris con trio di carte di diverso valore, sono proprio fuso..
Comunque riguardo alla tua perplessità, devo dire che non ho capito bene le percentuali che ti vengono fuori. Fino s $P(poker|tris,x,x) = 6,869 %$ sono d' accordo,
ma poi, $P(poker)?$ sarà $44,49%$o no ?
Poi non ho capito bene come hai avuto l' idea di considerate la probabilità di un poker dopo un tris, piuttosto che un poker generico, senza contare che usando la probabilità di poker 0,112%, viene P(tris) = 5,63%, piuttosot simile al valore vero, e tutto sommato (credo) accettabile..
Infine, secondo me hai sbagliato approccio per quanto riguarda $P(poker)?$, perchè con quella probabilità condizionata, non trovi semplicemtne la probabilità di poker dopo un tris, ma l' intersezione tra le probabilità di poker e tris.
P.S. capita anche a voi che ogni tanto scompaiono le formule di MathML dalla pagina del post ??
Comunque riguardo alla tua perplessità, devo dire che non ho capito bene le percentuali che ti vengono fuori. Fino s $P(poker|tris,x,x) = 6,869 %$ sono d' accordo,
ma poi, $P(poker)?$ sarà $44,49%$o no ?
Poi non ho capito bene come hai avuto l' idea di considerate la probabilità di un poker dopo un tris, piuttosto che un poker generico, senza contare che usando la probabilità di poker 0,112%, viene P(tris) = 5,63%, piuttosot simile al valore vero, e tutto sommato (credo) accettabile..
Infine, secondo me hai sbagliato approccio per quanto riguarda $P(poker)?$, perchè con quella probabilità condizionata, non trovi semplicemtne la probabilità di poker dopo un tris, ma l' intersezione tra le probabilità di poker e tris.
P.S. capita anche a voi che ogni tanto scompaiono le formule di MathML dalla pagina del post ??
"markowitz":
2)alternativamente si può (ed è questo che cercavo di fare all’inizio) procedere così:
il numero di sottoinsiemi di tre carte presenti nel mazzo è $C(32,3)$ il numero di tris è invece $8*C(4,3)=32$ il numero di sottoinsiemi di 3 carte serviti al giocatore vale $C(5,3)$.
Quindi la prob. che il giocatore abbia ricevuto un tris PIU’ due carte ignote vale:
$P(tris,x,x)=C(5,3)*(32/(C(32,3)))=6,4516...%$
Che chiaramente è maggiore di $P(tris)$, perché lasciamo la porta aperta a poker e full.
Secondo me, l'errore sta qui.
Calcolando prima il tris, e poi moltiplicando per il $C(32,3)$ è come se mettessi piu' volte il poker (proprio 4 volte).
forse il problema è dove dici tu però io ho considerato la prob. di estrarre un tris se si servissero tre carte, e fino a li non penso ci siano molti dubbi, poi ho moltiplicato tale valore per il numero di sottoisiemi di tre carte effettivamente servite (se ho capito tu sostieni che il problema sta qui ma non ho capito come risolverlo).
Inoltre utilizzando la $P(tris,x,x)$ trovata col mio metodo, utilizzando il condizionamento, ottengo la $P(FULL)$ corretta. Solo quella del poker non lo è (già questo è strano). Ma ciò che è peggio e che per trovare $P(tris)$ la $P(poker)$ trovata nel modo errato torna utile (questo è ancora più strano).
Lo so che scrivere molto può essere noioso ma ho provato a rivedere più volte il problema senza riuscire a risolverlo, se hai idee su come procedere ti andrebbe di riprendere l'esercizio come lo ho svolto io, inserire le correzzioni e, magari, vedere se tutti i conti tornano?
Te ne sarei grato.
Inoltre utilizzando la $P(tris,x,x)$ trovata col mio metodo, utilizzando il condizionamento, ottengo la $P(FULL)$ corretta. Solo quella del poker non lo è (già questo è strano). Ma ciò che è peggio e che per trovare $P(tris)$ la $P(poker)$ trovata nel modo errato torna utile (questo è ancora più strano).
Lo so che scrivere molto può essere noioso ma ho provato a rivedere più volte il problema senza riuscire a risolverlo, se hai idee su come procedere ti andrebbe di riprendere l'esercizio come lo ho svolto io, inserire le correzzioni e, magari, vedere se tutti i conti tornano?
Te ne sarei grato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo