Problemi con due variabili discrete.

[abanob95]

Non so se sia corretto chiedere la conferma degli svolgimenti su questo forum ma nel mio corso
la soluzione degli esercizi è riservata a quelli che in meno di 24 ore gli consegnano ottenendo la sufficienza

Siano $X_1, X_2, X_3, X_4$ variabili casuali indipendenti, ciascuna con media $0$ e varianza $1$.
Definiamo $Y_1:=X_1+X_2,Y_2:=X_2+X_3,Y_3:=X_3+X_4$ Calcola la correlazione tra:
(a) $Y_1$ e $Y_2$
(b) $Y_1$ e $Y_3$

(a)
Per la correlazione mi serve prima la covarianza:
$Cov(Y_1,Y_2)=E[Y_1Y_2]-E[Y_1]E[Y_2]=E[(X_1+X_2)(X_2+X_3)]-E[X_1+X_2]*E[X_2+X_3]$
essendo le variabili indipendenti $E[X_1X_2]=E[X_1]E[X_2]$ e quindi diventa
$E[X_1X_2+X_1X_3+X_2^2+X_2X_3]-{E[X_1]E[X_2]+E[X_1]E[X_3]+E[X_2]^2+E[X_2]E[X_3]} = 0$
per cui $Cov(Y_1,Y_2)=0$ di conseguenza anche la correlazione è $0$
(b)
Sviluppando i conti come nel punto (a) mi viene in maniera analoga che la Covarianza è $0$

Ma è giusto? Ho usato solo il fatto che sono indipendenti e non che la media sia 0 e la varianza 1..
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Siano X e Y due variabili casuali discrete con;
$P(2,1)=1/6,P(2,3)=1/3,P(3,3)=1/4,P(3,4)=1/4$
Calcola:
(a) le probabilità marginali di X e Y
(b) $E[X]$ e $E[Y]$
(c) $E[XY]$
(d) $Cov(X,Y)$
(e) Le variabili X e Y sono indipendenti?
(f) Calcola $P{X ≤ 3,Y ≤ 3}$

(a)
$x_1=2,x_2=3$
$y_1=1,y_2=3,y_3=4$
$P_x(1)=1/6+1/3,P_x(2)=1/4+1/4$
$P_y(1)=1/6,P_y(2)=1/3+1/4,P_y(3)=1/4$
(b)
$E[X]=P_x(1)*x_1+P_x(2)*x_2=2.5$
$E[Y]=P_y(1)*y_1+P_y(2)*y_2+P_y(3)+y_3~=2.92$
(c)
$E[XY]=2*1*1/6+2*3*1/3+3*3*1/4+3*4*1/4~=7.58$
(d)
$Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]*E[Y]~=0.29$
(e)
No perché la covarianza è $!=0$, no perché ad esempio $P(2,1)!=P_x(1)*P_y(1)$
(f)
$P(2,1)+P(2,3)+P(3,3)=3/4$

[ghira1]

Hai provato a scrivere una simulazione della prima parte per vedere cosa succede?

[ghira1]

"Abanob95":
$E[X_1X_2+X_1X_3+X_2^2+X_2X_3]-{E[X_1]E[X_2]+E[X_1]E[X_3]+E[X_2]^2+E[X_2]E[X_3]} = 0$

Dici che $E[X_2^2]=E[X_2]^2$? Mi sembra difficile.

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
$E[X_1X_2+X_1X_3+X_2^2+X_2X_3]-{E[X_1]E[X_2]+E[X_1]E[X_3]+E[X_2]^2+E[X_2]E[X_3]} = 0$

Dici che $E[X_2^2]=E[X_2]^2$? Mi sembra difficile.[/quote]

Ah ecco, $X_2$ giustamente non può essere indipendente da se stessa?
quindi $Cov(Y_1,Y_2)=E[X_2^2]-E[X_2]^2$ dove $E[X_2]^2$ è zero per definizione giusto?
per cui $rho(Y_1,Y_2)=(E[X_2^2])/(sqrt(1+1)*sqrt(1+1))=(E[X_2^2])/2$

E per il punto (b) a questo punto invece i termini si cancellano tutti per cui viene tutto sicuramente zero?

[ghira1]

"Abanob95":
per cui $rho(Y_1,Y_2)=(E[X_2^2])/(sqrt(1+1)*sqrt(1+1))=(E[X_2^2])/2$

E questo quanto fa? (Supponendo che sia giusto. Non ho controllato.)

[ghira1]

"Abanob95":
Ah ecco, $X_2$ giustamente non può essere indipendente da se stessa?

Questa $X_2$ no. Una variabile casuale può essere indipendente da se stessa, però. Come?