Problema variabile ipergeometrica

[JustDipax1997]

Salve a tutti ho il seguente problema:

Ho una variabile aleatoria discreta X che è una $ IPER(K,N-K) $ con densità discreta definita in questo modo:

$ p_k=(((K),(k))((N-K),(n-k)))/(((N),(n))) $ percio $ SPET(X)={0,1....,n} $

E so che la variabile aleatoria ipergeometrica viene utilizzata negli schemi di campionamento in blocco.
Ciò che non riesco a fare è calcolarre la MEDIA dell'ipergeometrica.

So che per calcolare la media di una variabile casuale discreta devo fare: $ sum_(k=0)^nk p_k $ dove la Pk è la mia densità discreta prima citata. Quale puo essere una possibile soluzione del problema?

[Lo_zio_Tom]

Per le proprietà del valore atteso, la media è la stessa del caso di estrazione con reimmissione (che sicuramente saprai calcolare)

[JustDipax1997]

"tommik":Per le proprietà del valore atteso, la media è la stessa del caso di estrazione con reimmissione (che sicuramente saprai calcolare)

mmm... nelle estrazioni con ripetizione io considero una $ BIN(n,p) $ con $ p in(0,1) $ e calcolando la media( che fortunamente so fare) ottengo $ E[X]=np $ .

ora dal tuo suggerimento la media è la stessa di quella che io ho appena calcolato, ma non riesco a trovare un collegamento con il p della binomiale perche in un caso le prove sono dipendenti(binomiale) e nel caso dell'ipergeometrica sono indipendenti.

[Lo_zio_Tom]

"JustDipax1997":...ma non riesco a trovare un collegamento con il p della binomiale perche in un caso le prove sono dipendenti(binomiale) e nel caso dell'ipergeometrica sono indipendenti.

Esattamente il contrario!

E' una dimostrazione che trovi un po' dappertutto e che ti riporto di seguito:

Ricordando che $sum_(i=0)^(m)((a),(i))((b),(m-i))=((a+b),(m)) $ ed applicando la definizione di media ottieni:

$E [X]=sum_(k=0)^(n) k (((K),(k))((N-K),(n-k)))/(((N),(n)))=$

$=n* K/N sum_(k=1)^(n)(((K-1),(k-1))((N-K),(n-k)))/(((N-1),(n-1)))=$

$=n * K/Nsum_(y=0)^(n-1) (((K-1),(y))((N-1-K+1),(n-1-y)))/(((N-1),(n-1)))=$

$=n*K/N $



Come puoi notare, la media è la stessa della binomiale, posto $p=K/N$

La varianza invece cambia[nota]viene $(N-n)/(N-1) $ volte la varianza della binomiale[/nota]... Se ne hai voglia puoi anche provare a calcolarla, basta porre $x^2=x (x-1)+x $ per calcolare il momento secondo...

Il fatto che la varianza della ipergeometrica sia diversa da quella della binomiale sta proprio ad indicare che nel campionamento in blocco gli eventi relativi ad estrazioni diverse non sono indipendenti e quindi, a differenza della binomiale (che come sai è una somma di bernulliane iid):

$V[Y_1 +...+ Y_n] != V[Y_1]+...+V[Y_n]$

[JustDipax1997]

Grazie... sempre molto gentile come al solito.
Purtroppo sul mio libro di probabilità e statistica ne sono elencate davvero poche di dimostrazioni perché vuole che le dismostiamo da soli...