Problema teoria probabilità
Mi chiamo Valeria.
Frequento l'ultimo anno della laurea specialistica in ing. delle telecomunicazioni.
Sto preparando "teoria dell'affidabilità" e mi sono imbattuta in questo esercizio che mi ha lasciato non pochi dubbi.
Come noterete esso ha ben poco a che vedere con l'affidabilità dei sistemi,ma i metodi di risoluzione sono simili.Ve lo propongo.
Voi come procedereste?
Io un procedimento l'ho trovato,essenzialmente combinatorio.
Ma non mi convince...quindi non lo propongo,anche perchè in tal modo non influenzo nessuno.
Capisco bene che così vado contro il regolamento,ma me ne assumo la responsabilità qualora,per questo motivo, si decidesse di non fornirmi aiuto.
Ecco il problema:
Un ingegnere deve presenterare due progetti ad un concorso
, scelti tra 22 proposti, selezionati come segue in base ai propri dati (codice concorrente e data di nascita):
1)Il primo progetto è scelto tra i primi 10 (1-10) in base all’ultima cifra del proprio codice concorrente (0 corrisponde a 10);
2)Il secondo progetto è scelto tra i secondi 12 (11-22) in base al mese (1-12) in cui è nato il professionista.
Ad esempio, un'ingegnere con codice 342210 (ultima cifra: 0) nato a Febbraio (mese 2) porterà gli esercizi n. 10 e 12
Sulla base delle regole di cui sopra, e con ipotesi semplificatrici (equiprobabilità, indipendenza) si calcolino:
a)la probabilità che due ingegneri ,I1 e I2,al concorso, portino:
1)la stessa coppia di progetti;
2)almeno un progetto uguale.
b) la probabilità che – in un confronto con 10 ingegneri – almeno 2 di essi portino la stessa coppia di progetti;
Per risolvere l'esercizio,utilizzare la teoria della probabilità,l'algebra degli eventi ed il calcolo combinatorio.
Grazie per l'attenzione.
Valeria
Frequento l'ultimo anno della laurea specialistica in ing. delle telecomunicazioni.
Sto preparando "teoria dell'affidabilità" e mi sono imbattuta in questo esercizio che mi ha lasciato non pochi dubbi.
Come noterete esso ha ben poco a che vedere con l'affidabilità dei sistemi,ma i metodi di risoluzione sono simili.Ve lo propongo.
Voi come procedereste?
Io un procedimento l'ho trovato,essenzialmente combinatorio.
Ma non mi convince...quindi non lo propongo,anche perchè in tal modo non influenzo nessuno.
Capisco bene che così vado contro il regolamento,ma me ne assumo la responsabilità qualora,per questo motivo, si decidesse di non fornirmi aiuto.
Ecco il problema:
Un ingegnere deve presenterare due progetti ad un concorso
, scelti tra 22 proposti, selezionati come segue in base ai propri dati (codice concorrente e data di nascita):
1)Il primo progetto è scelto tra i primi 10 (1-10) in base all’ultima cifra del proprio codice concorrente (0 corrisponde a 10);
2)Il secondo progetto è scelto tra i secondi 12 (11-22) in base al mese (1-12) in cui è nato il professionista.
Ad esempio, un'ingegnere con codice 342210 (ultima cifra: 0) nato a Febbraio (mese 2) porterà gli esercizi n. 10 e 12
Sulla base delle regole di cui sopra, e con ipotesi semplificatrici (equiprobabilità, indipendenza) si calcolino:
a)la probabilità che due ingegneri ,I1 e I2,al concorso, portino:
1)la stessa coppia di progetti;
2)almeno un progetto uguale.
b) la probabilità che – in un confronto con 10 ingegneri – almeno 2 di essi portino la stessa coppia di progetti;
Per risolvere l'esercizio,utilizzare la teoria della probabilità,l'algebra degli eventi ed il calcolo combinatorio.
Grazie per l'attenzione.
Valeria
Risposte
Io ragionerei come segue....
1)Fissato che l'ingegnere I1 abbia un progetto (dei $10*12$ disponibili), allora l'ingegnere I2 avrà lo stesso progetto se l'ultimo numero di matricola e il mese di nascita è lo stesso di I1:
$P[\text{stesso progetto}]=1/10 * 1/12$.
2)Ragioniamo con la probabilità complementare:
$P[\text{almeno un progetto uguale}]=1-P[\text{due progetti diversi}]=1-9/10*11/12=21/(10*12)$.
3)Anche questo con la prob. complementare:
$P[\text{su 10 ingegneri almeno 2 progetti uguali}]=1-P[\text{su 10 ingegneri nessun progetto uguale}]=1-\prod_(h=1)^9 ((10-h)*(12-h))/(10*12)=1-(9!*((11),(9))*9!)/(10^9*12^9)$
1)Fissato che l'ingegnere I1 abbia un progetto (dei $10*12$ disponibili), allora l'ingegnere I2 avrà lo stesso progetto se l'ultimo numero di matricola e il mese di nascita è lo stesso di I1:
$P[\text{stesso progetto}]=1/10 * 1/12$.
2)Ragioniamo con la probabilità complementare:
$P[\text{almeno un progetto uguale}]=1-P[\text{due progetti diversi}]=1-9/10*11/12=21/(10*12)$.
3)Anche questo con la prob. complementare:
$P[\text{su 10 ingegneri almeno 2 progetti uguali}]=1-P[\text{su 10 ingegneri nessun progetto uguale}]=1-\prod_(h=1)^9 ((10-h)*(12-h))/(10*12)=1-(9!*((11),(9))*9!)/(10^9*12^9)$
Ti ringrazio per la sollecitudine.
Ai primi due quesiti hai ragionato come me.
E' nel terzo che non mi trovo.
E' ovvio che,dalla produttoria che vedo,hai ragionato facendo l'intersezione di eventi indipendenti.
Ma non mi torna l'argomento della produttoria.
Perche' poi l'indice lo fai correre da 1 a 9.(forse perchè giustamente per h=10 si annulla l'argomento?)
Potresti spiegarmi meglio perchè hai ragionato così?
Grazie
Ai primi due quesiti hai ragionato come me.
E' nel terzo che non mi trovo.
E' ovvio che,dalla produttoria che vedo,hai ragionato facendo l'intersezione di eventi indipendenti.
Ma non mi torna l'argomento della produttoria.
Perche' poi l'indice lo fai correre da 1 a 9.(forse perchè giustamente per h=10 si annulla l'argomento?)
Potresti spiegarmi meglio perchè hai ragionato così?
Grazie
benvenuta nel forum.
provo a risponderti io.
in realtà la produttoria è un prodotto di due produttorie, e
$(10!)/(10^10)$, se semplifichi per 10, è uguale a $(9!)/(10^9)$
l'altro termine sarebbe $((12)_10)/(12^10)=(12*11*...*3)/(12^10)=((11)_9)/(12^9)$,
dove con $(11)_9=((11),(9))*9!$ indichiamo il fattoriale decrescente.
spero di essere stata utile. ciao.
provo a risponderti io.
in realtà la produttoria è un prodotto di due produttorie, e
$(10!)/(10^10)$, se semplifichi per 10, è uguale a $(9!)/(10^9)$
l'altro termine sarebbe $((12)_10)/(12^10)=(12*11*...*3)/(12^10)=((11)_9)/(12^9)$,
dove con $(11)_9=((11),(9))*9!$ indichiamo il fattoriale decrescente.
spero di essere stata utile. ciao.
Ora il quadro comincia a delinearsi.
Vi ringrazio!
Vi ringrazio!
prego!
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