Problema teorema limite centrale
Ciao a tutti, ho un problema per quanto riguarda l'applicazione del teorema centrale del limite.La formula l'ho capita ma ho difficoltà ad applicarla al seguente esercizio:
Un ricercatore vuole stimare la media di una popolazione usando un campione grande abbastanza da avere una probabilità del 95% che la media campionaria non differirà dalla media della popolazione di più del 25% della deviazione standard.Quale dovrebbe essere l'ampiezza del campione?
Se qualcuno potesse scrivermi la soluzione con passaggi e una piccola spiegazione mi farebbe un grande piacere!Grazie!
Un ricercatore vuole stimare la media di una popolazione usando un campione grande abbastanza da avere una probabilità del 95% che la media campionaria non differirà dalla media della popolazione di più del 25% della deviazione standard.Quale dovrebbe essere l'ampiezza del campione?
Se qualcuno potesse scrivermi la soluzione con passaggi e una piccola spiegazione mi farebbe un grande piacere!Grazie!
Risposte
Ho provato a risolvere così:
il teorema del limite centrale dice(con le dovute ipotesi):$((\bar{X}-\mu)/(\sigma))*sqrt(n)=N(0,1)$ per $n-> \oo$
"traducendo in simboli" ciò che dice il testo:
$P(|\bar{X}-\mu|<=\sigma*0.25)=0.95$
per ricondurci al teorema manca un $sqrt(n) =>$
$P(((|\bar{X}-\mu|)/(\sigma))*sqrt(n)<=0.25*sqrt(n))=0.95
tutto quello a sinistra del $<=$ lo chiamiamo $Z$ e sappiamo che $Z\simN(0,1)$
quindi
$P(-0.25*sqrt(n)<=Z<=0.25*sqrt(n))=P(Z<=0.25*sqrt(n))-P(Z<=-0.25*sqrt(n))=0.95$
cioè $2*P(Z<=0.25*sqrt(n))=1.95 => P(Z<=0.25*sqrt(n))=0.975$
dalle tabelle ricavi che $n=61$
Non so se è corretto, ma io lo risolverei così.
il teorema del limite centrale dice(con le dovute ipotesi):$((\bar{X}-\mu)/(\sigma))*sqrt(n)=N(0,1)$ per $n-> \oo$
"traducendo in simboli" ciò che dice il testo:
$P(|\bar{X}-\mu|<=\sigma*0.25)=0.95$
per ricondurci al teorema manca un $sqrt(n) =>$
$P(((|\bar{X}-\mu|)/(\sigma))*sqrt(n)<=0.25*sqrt(n))=0.95
tutto quello a sinistra del $<=$ lo chiamiamo $Z$ e sappiamo che $Z\simN(0,1)$
quindi
$P(-0.25*sqrt(n)<=Z<=0.25*sqrt(n))=P(Z<=0.25*sqrt(n))-P(Z<=-0.25*sqrt(n))=0.95$
cioè $2*P(Z<=0.25*sqrt(n))=1.95 => P(Z<=0.25*sqrt(n))=0.975$
dalle tabelle ricavi che $n=61$
Non so se è corretto, ma io lo risolverei così.
Sperando che il tuo passaggio sia corretto(ti ringrazio molto per la disponibilità) dovrei aver capito più o meno come funziona!Io non capisco come fanno a scrivere questi libri!Che spiegando tutto a livello matematico e senza far vedere un esercizio svolto come questo, sono impossibili da capire!
Una cosa ho notato nel èpassaggio dopo in cui dici la parte a sinistra la scrivo come z, non capisco dove va a finire sigma del denominatore e perchè poi lo 0,25 compare sia a destra che a sinistra di z.
Il perchè compare 0.25 sia a destra che a sinistra è per via del valore assoluto.
$|\bar{X}-\mu|<=\sigma*0.25$ ovvero $-\sigma*0.25<=\bar[X}-mu<=\sigma*0.25
Avrei potuto fare prima questo passaggio e poi dividere per $\sigma$ e moltiplicare per $sqrt(n)$, però comunque queste sono entrambe quantità positive, quindi dovrebbe essere lo stesso.
Poi ho posto $Z=((|\bar{X}-\mu|)/(\sigma))*sqrt(n)$ quindi $\sigma$ è "incluso" nella $Z$.
$|\bar{X}-\mu|<=\sigma*0.25$ ovvero $-\sigma*0.25<=\bar[X}-mu<=\sigma*0.25
Avrei potuto fare prima questo passaggio e poi dividere per $\sigma$ e moltiplicare per $sqrt(n)$, però comunque queste sono entrambe quantità positive, quindi dovrebbe essere lo stesso.
Poi ho posto $Z=((|\bar{X}-\mu|)/(\sigma))*sqrt(n)$ quindi $\sigma$ è "incluso" nella $Z$.
Grazie mille!Ultima cosa non ho capito il passaggio : cioè 2⋅P(Z≤0.25⋅n)=1.95⇒P(Z≤0.25⋅n)=0.975
perchè diventa prima 1.95 e poi 0.975?Inoltre volevo sapere a quale tabella ti riferisci??
perchè diventa prima 1.95 e poi 0.975?Inoltre volevo sapere a quale tabella ti riferisci??
La prima è una semplice divisione. Ha portato il $2$ che premoltiplicava la probabilità al denominatore del secondo membro, ottenendo $1.95/2 = 0.975$
Per la tabelle, si parla di quella della Normale. Cerchi il valore tabulato più vicino a $0.975$ (in realtà c'è esattamente $0.975$ a cui corrisponde un $1.96$) e a questo punto hai ovviamente che $0.25*sqrt(n)=1.96$ (in modo da soddisfare $P(Z<=1.96)=0.975$ ). Da qua ricavi la $n$ che in effetti è $61.4656$
Per la tabelle, si parla di quella della Normale. Cerchi il valore tabulato più vicino a $0.975$ (in realtà c'è esattamente $0.975$ a cui corrisponde un $1.96$) e a questo punto hai ovviamente che $0.25*sqrt(n)=1.96$ (in modo da soddisfare $P(Z<=1.96)=0.975$ ). Da qua ricavi la $n$ che in effetti è $61.4656$
Grazie arado(sempre gentile)!Orma mi manca il perchè 0.95 sia diventato 1.95 
Devi ricordare che $\phi(-z)=1-\phi(z)$.
In questo caso $P(Z<=0.25sqrt(n))-P(Z<=-0.25sqrt(n))=0.95$ si scompone come $P(Z<=0.25sqrt(n))-(1-P(Z<=0.25sqrt(n)))=0.95$
Da qua porti l'$1$ a destra con segno positivo ed ottieni $1.95$, mentre a sinistra hai due volte la stessa cosa e quindi $2P(Z<=0.25sqrt(n))$.
In questo caso $P(Z<=0.25sqrt(n))-P(Z<=-0.25sqrt(n))=0.95$ si scompone come $P(Z<=0.25sqrt(n))-(1-P(Z<=0.25sqrt(n)))=0.95$
Da qua porti l'$1$ a destra con segno positivo ed ottieni $1.95$, mentre a sinistra hai due volte la stessa cosa e quindi $2P(Z<=0.25sqrt(n))$.
Arado sei un grande 
! Per capire come si utilizza questo teorema ci ho impiegato una vita però grazie a te e al ragazzo prima ora sono riuscito a capire! Ma è mai possibile che i libri mettano solo la teoria e nemmeno la spiegazione dettagliata di un esercizio svolto?? Uno per capire deve spremere il cervello come un'arancia!Grazie davvero mi avete fatto un gran favore
! Per capire come si utilizza questo teorema ci ho impiegato una vita però grazie a te e al ragazzo prima ora sono riuscito a capire! Ma è mai possibile che i libri mettano solo la teoria e nemmeno la spiegazione dettagliata di un esercizio svolto?? Uno per capire deve spremere il cervello come un'arancia!Grazie davvero mi avete fatto un gran favore
Di niente!
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