Problema sulla probabilità
Ragazzi, vi posto il seguente quesito:
Francesco possiede un capitale certo di 20.000 Euro. Valuta se partecipare alla lotteria seguente: si estrae un numero tra 1 e 90. Se esce un numero pari si vincono 1.500 Euro, altrimenti non si vince nulla.
Il prezzo del biglietto e' 200 Euro. Sapendo che la funzione di utilità di Francesco è [tex]u(x)= $ x(150.000 - x)/(150.000) $[/tex],
(a) dire se Francesco giudica vantaggioso comprare 1 biglietto della lotteria
(b) dire quale è il numero massimo di biglietti che Francesco ritiene conveniente comprare.
Per il punto a non ho capito se richiede il valore atteso oppure l'utilità attesa mentre il b non so proprio come svolgerlo.
Francesco possiede un capitale certo di 20.000 Euro. Valuta se partecipare alla lotteria seguente: si estrae un numero tra 1 e 90. Se esce un numero pari si vincono 1.500 Euro, altrimenti non si vince nulla.
Il prezzo del biglietto e' 200 Euro. Sapendo che la funzione di utilità di Francesco è [tex]u(x)= $ x(150.000 - x)/(150.000) $[/tex],
(a) dire se Francesco giudica vantaggioso comprare 1 biglietto della lotteria
(b) dire quale è il numero massimo di biglietti che Francesco ritiene conveniente comprare.
Per il punto a non ho capito se richiede il valore atteso oppure l'utilità attesa mentre il b non so proprio come svolgerlo.
Risposte
Tu che dici ?
Giocheresti ?
Giocheresti ?
sia che faccio l'utilita' attesa che il valore atteso il risultato è superiore al costo del biglietto quindi ho dei vantaggi nel comprare il biglietto. Però non capisco se viene richiesta la prima o la seconda cosa.
Nessuno può aiutarmi ? martedì ho l'esame e ci terrei ad essere preparato su questo quesito. Grazie !
chiedere al prof?
Il problema è che sono un pendolare e non posso spostarmi per ogni minimo problema che incontro.
Alla prima domanda ti sei già risposto implicitamente, l'utilità attesa è maggiore della spesa iniziale...
Per la seconda parte puoi applicare lo stesso ragionamento, la probabilità di vincita non viene alterata dal numero di biglietti comprati, ti basta rifare il conto tenendo conto di usare $nx$ al posto di $x$ e fare la tua valutazione su $n$ (ricordando che hai un budget di $20000$).
Per la seconda parte puoi applicare lo stesso ragionamento, la probabilità di vincita non viene alterata dal numero di biglietti comprati, ti basta rifare il conto tenendo conto di usare $nx$ al posto di $x$ e fare la tua valutazione su $n$ (ricordando che hai un budget di $20000$).
Quindi punto A:
$ X = { ( 1500 ),( 0 ) :} $ con probabilità: [tex]1/2[/tex]
Da cui tramite funzione di utilità otteniamo:
$ u(X) = { ( 1485 ),( 0 ) :} $ con probabilità: [tex]1/2[/tex] e quindi [tex]E[u(X)] = 1485 (0,5) + 0(0,5) = 742,5 > 200[/tex]
Mentre il punto B inserendo [tex]n[/tex]:
$ X = { ( 1500 n ),( 0 ) :} $ con probabilità: [tex]1/2[/tex]
oppure devo fare sempre l'utilità attesa e inserire [tex]n[/tex]nella funzione di utilità ? Perchè in questo caso ho provato a farla ma [tex]n[/tex] mi esce 100 e moltiplicato per 200 che è il prezzo del biglietto mi esce pari a 20.000 che sarebbe l'intero budget ma mi sembra strano.
$ X = { ( 1500 ),( 0 ) :} $ con probabilità: [tex]1/2[/tex]
Da cui tramite funzione di utilità otteniamo:
$ u(X) = { ( 1485 ),( 0 ) :} $ con probabilità: [tex]1/2[/tex] e quindi [tex]E[u(X)] = 1485 (0,5) + 0(0,5) = 742,5 > 200[/tex]
Mentre il punto B inserendo [tex]n[/tex]:
$ X = { ( 1500 n ),( 0 ) :} $ con probabilità: [tex]1/2[/tex]
oppure devo fare sempre l'utilità attesa e inserire [tex]n[/tex]nella funzione di utilità ? Perchè in questo caso ho provato a farla ma [tex]n[/tex] mi esce 100 e moltiplicato per 200 che è il prezzo del biglietto mi esce pari a 20.000 che sarebbe l'intero budget ma mi sembra strano.
Dato che $x$ qui rappresenta il gudagno per singola unità mi sembra corretto prendere $nx$ nel caso della seconda domanda.
Prova a ragionare sulla forma della funzione di utilità per fugare i tuoi dubbi.
Se la funzione di utilità fosse lineare potresti tranquillamente sommarla $n$ volte però non è il tuo caso.
Prova a ragionare sulla forma della funzione di utilità per fugare i tuoi dubbi.
Se la funzione di utilità fosse lineare potresti tranquillamente sommarla $n$ volte però non è il tuo caso.
In entrambe le risposte va usato il criterio dell’utilità attesa. Infatti in entrambe le domande è richiesto di stabilire la decisione che il soggetto prenderebbe. Tali decisioni sono figlie della funzione di utilità personale del soggetto che è lo specchio di come lo stesso percepisce l’utilità degli importi.
Punto a)
È chiaro che la probabilità di vincita è ½ e quindi la speranza matematica della vincita è 750€ importo ben superiore ai soli 200€ del costo del biglietto. Il gioco risulta evidentemente vantaggioso. Tuttavia le valutazioni non vanno fatte con il criterio della speranza matematica perché va tenuto conto della funzione di utilità del soggetto che non è detto che faccia percepire allo stesso il rischio di perdere 200 € vantaggioso anche a fronte di un guadagno atteso di 750€. Il punto è che i 200€ sono certi e il 750 € sono attesi e quindi non certi.
L’acquisto di un unico biglietto è tuttavia vantaggioso anche secondo le valutazioni dell’utilità attesa in quanto come hai fatto giustamente notare l’utilità attesa è di 742,5 (come noterai inferiore alla speranza matematica che è 750 e questo è sintomo che il soggetto è avverso al rischio seppur di poco). Il lieve errore di tipo formale che hai commesso sta nel fatto che questa utilità (742,5) non va confrontata con i 200€ ma con l’utilità degli stessi e quindi con u(200) che è leggermente inferiore. In ogni caso l’acquisto risulta comunque vantaggioso.
Punto b)
La funzione di utilità è di tipo quadratico u(x)= x-x^2/150000.
La probabilità di vincita è sempre ½ anche acquistando più biglietti. Acquistando n biglietti la possibile vincita è 1500*n con probabilità sempre ½.
E[u(1500*n)]=(1/2)*[1500*n-(1500*n)^2]/150000.
Il costo di n biglietti è 200*n.
u(200*n)=[200*n.(200*n)^2)]/150000.
La soluzione sta nel trovare quel valore di n tale che E[u(1500*n)]= u(200*n).
Svolgendo i conti viene n=76.
Tuttavia c’è un problema di fondo non trascurabile. La funzione di utilità deve per forza essere crescente in quanto per qualunque soggetto è preferibile avere più soldi piuttosto che averne di meno. La funzione quadratica che ti è stata assegnata come tutte le funzione quadratiche è un “pezzo di parabola” e di conseguenza non è sempre crescente. Nel nostro caso la parabola (che ha la concavità verso il basso) è crescente per x<75000 punto in cui c’è il vertice della parabola. Di conseguenza con questa funzione di utilità non avrebbe senso prendere in considerazione importi superiori a tale cifra perché otterremmo una valutazione poco realistica. Per capirci con questa u si ottiene u(75000)>u(100000) che ha poco senso. Con n=76 si entra in un range di importi superiori a 75000 e quindi ti direi che dal punto di vista analitico la risposta corretta è n=76 ma da un punto di vista logico in nostro Francesco può giocare al massimo 50 biglietti (pari a una possibile vincita di 75000) perché se ne acquistasse di più gli importi in gioco uscirebbero dal range in cui la sua funzione di utilità mantiene le caratteristiche di una funzione di utilità.
Spero di esserti stato di aiuto.
Punto a)
È chiaro che la probabilità di vincita è ½ e quindi la speranza matematica della vincita è 750€ importo ben superiore ai soli 200€ del costo del biglietto. Il gioco risulta evidentemente vantaggioso. Tuttavia le valutazioni non vanno fatte con il criterio della speranza matematica perché va tenuto conto della funzione di utilità del soggetto che non è detto che faccia percepire allo stesso il rischio di perdere 200 € vantaggioso anche a fronte di un guadagno atteso di 750€. Il punto è che i 200€ sono certi e il 750 € sono attesi e quindi non certi.
L’acquisto di un unico biglietto è tuttavia vantaggioso anche secondo le valutazioni dell’utilità attesa in quanto come hai fatto giustamente notare l’utilità attesa è di 742,5 (come noterai inferiore alla speranza matematica che è 750 e questo è sintomo che il soggetto è avverso al rischio seppur di poco). Il lieve errore di tipo formale che hai commesso sta nel fatto che questa utilità (742,5) non va confrontata con i 200€ ma con l’utilità degli stessi e quindi con u(200) che è leggermente inferiore. In ogni caso l’acquisto risulta comunque vantaggioso.
Punto b)
La funzione di utilità è di tipo quadratico u(x)= x-x^2/150000.
La probabilità di vincita è sempre ½ anche acquistando più biglietti. Acquistando n biglietti la possibile vincita è 1500*n con probabilità sempre ½.
E[u(1500*n)]=(1/2)*[1500*n-(1500*n)^2]/150000.
Il costo di n biglietti è 200*n.
u(200*n)=[200*n.(200*n)^2)]/150000.
La soluzione sta nel trovare quel valore di n tale che E[u(1500*n)]= u(200*n).
Svolgendo i conti viene n=76.
Tuttavia c’è un problema di fondo non trascurabile. La funzione di utilità deve per forza essere crescente in quanto per qualunque soggetto è preferibile avere più soldi piuttosto che averne di meno. La funzione quadratica che ti è stata assegnata come tutte le funzione quadratiche è un “pezzo di parabola” e di conseguenza non è sempre crescente. Nel nostro caso la parabola (che ha la concavità verso il basso) è crescente per x<75000 punto in cui c’è il vertice della parabola. Di conseguenza con questa funzione di utilità non avrebbe senso prendere in considerazione importi superiori a tale cifra perché otterremmo una valutazione poco realistica. Per capirci con questa u si ottiene u(75000)>u(100000) che ha poco senso. Con n=76 si entra in un range di importi superiori a 75000 e quindi ti direi che dal punto di vista analitico la risposta corretta è n=76 ma da un punto di vista logico in nostro Francesco può giocare al massimo 50 biglietti (pari a una possibile vincita di 75000) perché se ne acquistasse di più gli importi in gioco uscirebbero dal range in cui la sua funzione di utilità mantiene le caratteristiche di una funzione di utilità.
Spero di esserti stato di aiuto.
Grazie sei stato esaustivo e grazie per il tempo dedicatomi. ora cerco di trascriverla e ragionarci su 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo