Problema sul tipo di variabile aleatoria
Ciao a tutti! chiedo un aiuto per capire cosa debba fare per risolvere un esercizio.
Esso dice: il ciclo cardiaco tra una sistole e la successiva(un "battito")ha una durata approssimativamente normale con media $mu$ e deviazione standard $sigma$. Per un adulto sano e a riposo possiamo supporre $mu=0,80$s e $sigma=0,15$s.
(a)Un individuo sano e a riposo si misura le pulsazioni. Qual è la probabilità di contare 80 battiti in meno di un minuto?
(b)Sia W il numero di pulsazioni contate in un minuto. Determinare due interi m, n tali che $P(m<=W<=n)$ sia circa 95%.
Sul punto (a) non dovrei avuto aver problemi: ho chiamato Xi le varie durate di battito che sono normali con media 0,80 e deviazione standard 0,15, ho chiamato S la somma di 80 durate che ha sempre distribuzione normale con media $80*0,80$ e deviazione standard $80*0,15$ poi ho calcolato $P(S<60)$ e la probabilità di contare 80 battiti in meno di un minuto dovrebbe venire uguale allo 0,14%.
Il mio problema è sul punto (b) infatti non capisco che distribuzione abbia la variabile W(il numero di pulsazioni contate in un minuto)...
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Esso dice: il ciclo cardiaco tra una sistole e la successiva(un "battito")ha una durata approssimativamente normale con media $mu$ e deviazione standard $sigma$. Per un adulto sano e a riposo possiamo supporre $mu=0,80$s e $sigma=0,15$s.
(a)Un individuo sano e a riposo si misura le pulsazioni. Qual è la probabilità di contare 80 battiti in meno di un minuto?
(b)Sia W il numero di pulsazioni contate in un minuto. Determinare due interi m, n tali che $P(m<=W<=n)$ sia circa 95%.
Sul punto (a) non dovrei avuto aver problemi: ho chiamato Xi le varie durate di battito che sono normali con media 0,80 e deviazione standard 0,15, ho chiamato S la somma di 80 durate che ha sempre distribuzione normale con media $80*0,80$ e deviazione standard $80*0,15$ poi ho calcolato $P(S<60)$ e la probabilità di contare 80 battiti in meno di un minuto dovrebbe venire uguale allo 0,14%.
Il mio problema è sul punto (b) infatti non capisco che distribuzione abbia la variabile W(il numero di pulsazioni contate in un minuto)...
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Provo a darti uno spunto per il punto b).
Innanzitutto cerchiamo di manipolare la $P[m<=W<=n]$, cioè la probabilità che in un minuto ci siano tra gli "m" e "n" battiti.
Possiamo condizionare la probabilità sopra descritta con l'evento "in 'a' secondi (tra zero e sessanta) si sono verificati 'm' battiti ".
Applicando al probabilità totale, si avrà:
$int_0^60 P[m<=W<=n| \text{in 'a' secondi si sono verificati m battiti }] * P[\text{in 'a' secondi si sono verificati m battiti} ] d a$ .
La probabilità $P[m<=W<=n| \text{in 'a' secondi si sono verificati m battiti}]$ può essere riscritta come:
$P[sum_(i=m)^n T_i <=60-a]$ cioè gli $n-m$ battiti residui dovranno verificarsi entro $60-a$ secondi.
Con $T_i$ si fa riferimento alla distribuzione di tempo di ogni singolo battito cioè una v.a. Gaussiana (indipendente dagli altri battiti).
Invece, la $P[\text{in 'a' secondi si sono verificati m battiti} ]$ significa che la somma di "m" durate di ogni battito dovrà essere minore o uguale a $a$ secondi, cioè:
$P[sum_(i=1)^m T_i <= a]$ altro non è che la somma di m varibili aleatorie Gaussiane identicamente distribuite.
Riassumendo, si otterrà:
$int_0^60 P[sum_(i=m)^n T_i <=60-a] * P[sum_(i=1)^m T_i <= alpha] d a$.
Ora, imponendo la condizione che tale probabilità dev'essere inferiore a $95%$ si otterrà un insieme di soluzioni di coppie $(m,n)$.
Innanzitutto cerchiamo di manipolare la $P[m<=W<=n]$, cioè la probabilità che in un minuto ci siano tra gli "m" e "n" battiti.
Possiamo condizionare la probabilità sopra descritta con l'evento "in 'a' secondi (tra zero e sessanta) si sono verificati 'm' battiti ".
Applicando al probabilità totale, si avrà:
$int_0^60 P[m<=W<=n| \text{in 'a' secondi si sono verificati m battiti }] * P[\text{in 'a' secondi si sono verificati m battiti} ] d a$ .
La probabilità $P[m<=W<=n| \text{in 'a' secondi si sono verificati m battiti}]$ può essere riscritta come:
$P[sum_(i=m)^n T_i <=60-a]$ cioè gli $n-m$ battiti residui dovranno verificarsi entro $60-a$ secondi.
Con $T_i$ si fa riferimento alla distribuzione di tempo di ogni singolo battito cioè una v.a. Gaussiana (indipendente dagli altri battiti).
Invece, la $P[\text{in 'a' secondi si sono verificati m battiti} ]$ significa che la somma di "m" durate di ogni battito dovrà essere minore o uguale a $a$ secondi, cioè:
$P[sum_(i=1)^m T_i <= a]$ altro non è che la somma di m varibili aleatorie Gaussiane identicamente distribuite.
Riassumendo, si otterrà:
$int_0^60 P[sum_(i=m)^n T_i <=60-a] * P[sum_(i=1)^m T_i <= alpha] d a$.
Ora, imponendo la condizione che tale probabilità dev'essere inferiore a $95%$ si otterrà un insieme di soluzioni di coppie $(m,n)$.
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