Problema su probabilità con estrazioni con reinserimento
Scusate ho bisogno di aiuto per questo esercizio sulla probabilità, è più forte di me non riesco a capirci niente 
In un urna ci sono 30 palline di cui 10 rosse, 7 nere, 4 viola e le restanti gialle
a) Qual'è la probabilità che su 6 estrazioni con reinserimento si ottengano tutte palline nere?
b) Qual'è la probabilità che su 6 estrazioni con reinserimento non si ottenga alcuna pallina nera?
c) " " si ottenga almeno una pallina nera?
Io ho provato facendo
a) (7/30)^7 x (23/30) però non mi torna
per il resto non ne ho idea...mi potreste aiutare per favore?
In un urna ci sono 30 palline di cui 10 rosse, 7 nere, 4 viola e le restanti gialle
a) Qual'è la probabilità che su 6 estrazioni con reinserimento si ottengano tutte palline nere?
b) Qual'è la probabilità che su 6 estrazioni con reinserimento non si ottenga alcuna pallina nera?
c) " " si ottenga almeno una pallina nera?
Io ho provato facendo
a) (7/30)^7 x (23/30) però non mi torna
per il resto non ne ho idea...mi potreste aiutare per favore?
Risposte
Provo a risponderti...spero di non scrivere una cavolata...data l'ora... 
a) $ A={text(tutte nere)} $
Definendo la probabilità che esca una palla nera $p=7/30 $ si cerca la probabilità che ad ogni estrazione esca una palla nera...considerando 6 estrazioni (ovviamente con reinserimento). Quindi ad ogni estrazione la probabilità di pescare una palla nera è sempre $p$ quindi:
$P(A)= p*p*p*p*p*p ((6) ,(6))=p^6 ((6) ,(6))=p^6$
b)$B={text(nessuna palla nera)} $
Ad ogni estrazione la probabilità di estrarre una palla non nera è data da $q=1-p$ quindi ad ogni estrazione la probabilità sarà sempre $q$...quindi:
$P(B)=(1-p)^6 ((6) ,(6))= q^6 ((6) ,(6))= q^6 $
c) $C={text(almeno una nera)} $
La probabilità che si ottenga una pallina nera è data da $P(C)= 1-P(B)$ perchè in verità sarebbe la somma delle probabilità di averne esattamente una, esattamente due, esattamente tre,..., esattamente sei. Il che equilvale a togliere ad $1$ la probabilità di non trovarne nessuna.
Torna?
a) $ A={text(tutte nere)} $
Definendo la probabilità che esca una palla nera $p=7/30 $ si cerca la probabilità che ad ogni estrazione esca una palla nera...considerando 6 estrazioni (ovviamente con reinserimento). Quindi ad ogni estrazione la probabilità di pescare una palla nera è sempre $p$ quindi:
$P(A)= p*p*p*p*p*p ((6) ,(6))=p^6 ((6) ,(6))=p^6$
b)$B={text(nessuna palla nera)} $
Ad ogni estrazione la probabilità di estrarre una palla non nera è data da $q=1-p$ quindi ad ogni estrazione la probabilità sarà sempre $q$...quindi:
$P(B)=(1-p)^6 ((6) ,(6))= q^6 ((6) ,(6))= q^6 $
c) $C={text(almeno una nera)} $
La probabilità che si ottenga una pallina nera è data da $P(C)= 1-P(B)$ perchè in verità sarebbe la somma delle probabilità di averne esattamente una, esattamente due, esattamente tre,..., esattamente sei. Il che equilvale a togliere ad $1$ la probabilità di non trovarne nessuna.
Torna?
No scusami, è che non ho mai fatto statistica e mi sembra arabo!
Non capisco il ragionamento..
Non capisco il ragionamento..
"Elrien":
No scusami, è che non ho mai fatto statistica e mi sembra arabo!
Non capisco il ragionamento..
Posto che la probabilità dell'evento certo è sempre $1$.
La probabilità di pescare in una estrazione una pallina nera è $p$, definito come sopra. Quindi, poichè ogni volta reinserisci la pallina, hai che, ad ogni estrazione, la probabilità di pescare una pallina nera è sempre $p$. Quindi hai $p^6$.
Mi sembra una cosa logica...lascia stare le formule che hai letto da qualche parte. Ho aggiunto il combinatorio perchè se invece che 6 nere ne cercavi 5 avresti dovuto considerare le diverse possibili combinazioni in cui potevi pescare queste "5 nere e 1 diversa".
Nel secondo punto ti stai chiedendo quale sia la probabilità che non peschi mai una nera. Per lo stesso motivo di sopra hai $q^6$. Solo che $q$ è la probabilità "di evitare la pallina nera" ovvero $q=1-p$...questo perchè a te vanno bene tutte le possibili palline a patto che non siano nere.
Il terzo invece è leggermente diverso. Stai cercando la probabilità che almeno una sia nera...ovvero ciò è l'esatto contrario di cercare il fatto che nessuna è nera. Infatti se nessuna è nera escono tutte palline diverse da quelle nere...mentre se "almeno una è nera" hai che ne può uscire una sola, due, tre, quattro, cinque, o sei...ma MAI nessuna...infatti se non ne uscisse nessuna nera...ti troveresti nella condizione precedente...ovvero ti troveresti con $P(B)$.
Quindi la probabilità che almeno una sia nera è data da $1-P(B)$...
PS: Non so se studi all'università o al liceo...ma queste cose base le trovi in quasi tutti (credo) i libri di matematica per lo scientifico e sicuramente nei libri sulla probabilità di un qualsiasi primo corso universitario su tali argomenti.
PPS: Scusa la, sicuramente, pessima spiegazione...ma sono ancora abituato ad essere quello che le spiegazioni le ascolta...e non quello che le da...
No anzi scusami te per essere così...dura!
Grazie mille di tutto ho capito finalmente l'esercizio!!
Grazie mille di tutto ho capito finalmente l'esercizio!!
Ma più o meno P(C) quanto verrebbe?
c) $1-(23/30)^6=1-(148.035.889)/(729.000.000)=(580.964.111)/(729.000.000)=79,69329%$
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