Problema soluzione esercizio probabilitá
si estrae a caso un numero nell'insieme A={1,2,3} e, se il numero estratto é n, si esegue una nuova estrazione a caso nell'insieme Bn={1,...,n}. Calcolare la probabilità che il secondo estratto sia 2 e la probabilità che il primo numero estratto sia 3, supposto che il secondo numero estratto sia 2?
Risposte
L'evento che si verifica all'estrazione dall'insieme $A$ condiziona lo spazio in cui avviene l'estrazione dall'insieme $B$, quindi non credo che i due eventi siano s-indipendenti. In effetti se si verifica $X_A = 1$ allora $Pr\{X_B = 2\} = 0$.
La probabilità di estrarre $2$ da $B$ è allora:
$Pr\{X_B = 2\} = \sum_{i=1}^3 Pr\{X_B = 2 | X_A = i\} \times Pr\{X_A = i\} = 0 \times 1/3 + 1/2 \times 1/3 + 1/3 \times 1/3 = 5/18$
Dimenticavo il secondo quesito:
Applicando il teorema di Bayes sulla "probabilità delle cause" si ha
$Pr\{X_A = 3 | X_B = 2\} = \frac{Pr\{X_B = 2 | X_A = 3\} \times Pr\{X_A = 3\}}{Pr\{X_B = 2\}} = \frac{1/3 \times 1/3}{5/18} = 2/5$
La probabilità di estrarre $2$ da $B$ è allora:
$Pr\{X_B = 2\} = \sum_{i=1}^3 Pr\{X_B = 2 | X_A = i\} \times Pr\{X_A = i\} = 0 \times 1/3 + 1/2 \times 1/3 + 1/3 \times 1/3 = 5/18$
Dimenticavo il secondo quesito:
Applicando il teorema di Bayes sulla "probabilità delle cause" si ha
$Pr\{X_A = 3 | X_B = 2\} = \frac{Pr\{X_B = 2 | X_A = 3\} \times Pr\{X_A = 3\}}{Pr\{X_B = 2\}} = \frac{1/3 \times 1/3}{5/18} = 2/5$
L'atto "estrarre da $B$" è indipendente dal risultato $x_A$ dell'estrazione da $A$, ma l'evento $x_B$ risultante dall'estrazione da $B$ è condizionato dal primo, in quanto al variare della determinazione $x_A$ di $X_A$ varia lo spazio in cui vive la v.a. $X_B$.
Per quanto riguarda la notazione (lettere maiuscole per le v.a. e lettere minuscole per le loro generiche determinazioni) faccio riferimento a "Probabilità e statistica per le scienze e l'ingegneria" di Pasquale Erto, che ha messo a punto una notazione a prova di bomba
Per quanto riguarda la notazione (lettere maiuscole per le v.a. e lettere minuscole per le loro generiche determinazioni) faccio riferimento a "Probabilità e statistica per le scienze e l'ingegneria" di Pasquale Erto, che ha messo a punto una notazione a prova di bomba
Se dalla prima urna si estrae $1$ (il che avviene con probabilità $1/3$), allora nella seconda urna ci sarà solo una pallina col numero $1$, quindi la probabilità di estrarre $2$ (ma anche $3$) dalla seconda urna è zero.
Allo stesso modo, se dalla prima urna si estrae $2$, allora nella seconda urna ci saranno 2 palline (la $1$ e la $2$). Quindi la probabilità di estrarre $2$ (e anche $1$) dalla seconda urna è $1/2$ (mentre quella di estrarre $3$ è ancora zero).
Ancora allo stesso modo, se dalla urna $A$ si estrae il $3$, allora l'urna $B$ sarà proprio uguale alla $A$, per cui le 3 probabilità saranno $1/3$
Allo stesso modo, se dalla prima urna si estrae $2$, allora nella seconda urna ci saranno 2 palline (la $1$ e la $2$). Quindi la probabilità di estrarre $2$ (e anche $1$) dalla seconda urna è $1/2$ (mentre quella di estrarre $3$ è ancora zero).
Ancora allo stesso modo, se dalla urna $A$ si estrae il $3$, allora l'urna $B$ sarà proprio uguale alla $A$, per cui le 3 probabilità saranno $1/3$
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