Problema probabilità palline in urne
Ho 3 urne.
Nella prima urna ho:
10 palline nere
5 palline bianche
Nella seconda urna ho:
4 palline nere
2 bianche
Nella terza urna:
1 nera
6 bianca
Viene estratta da una urna a caso una pallina nera. Qual'è la probabilità che venga dalla seconda urna?
Grazie delle risposte
Nella prima urna ho:
10 palline nere
5 palline bianche
Nella seconda urna ho:
4 palline nere
2 bianche
Nella terza urna:
1 nera
6 bianca
Viene estratta da una urna a caso una pallina nera. Qual'è la probabilità che venga dalla seconda urna?
Grazie delle risposte
Risposte
1/3
La probabilità di scelta delle urne è slegata dalla probabilità delle palline (c'è almeno una nera in tutte e tre).
La probabilità di scelta delle urne è slegata dalla probabilità delle palline (c'è almeno una nera in tutte e tre).
non credo proprio che sia questa la soluzione visto che nelle urne ci sono anche le palline rosse
Io ragionerei così. In tutto ci sono $15$ palline nere, $10 $ nella prima urna, $4$ nella seconda e $1$ nella terza.
Se prendiamo una pallina nera da una urna a caso, la probabilita che la pallina venga dalla seconda urna è $4/15$.
Le palline bianche non condizionano la probabilità in quanto sappiamo già che la pallina è nera
Se prendiamo una pallina nera da una urna a caso, la probabilita che la pallina venga dalla seconda urna è $4/15$.
Le palline bianche non condizionano la probabilità in quanto sappiamo già che la pallina è nera
Sono d'accordo che la probabilità di scegliere una qualunque urna è -a priori- $1/3$.
Però, condizionatamente al fatto che sappiamo di avere estratto una pallina nera, cambia la probabilità di ogni urna.
Si può risponedere alla domanda applicando il teorema di Bayes.
Però, condizionatamente al fatto che sappiamo di avere estratto una pallina nera, cambia la probabilità di ogni urna.
Si può risponedere alla domanda applicando il teorema di Bayes.
"Gi8":
Le palline bianche non condizionano la probabilità in quanto sappiamo già che la pallina è nera
Le palline bianche hanno un ruolo condizionante.
Propongo questo esempio più semplice.
Abbiamo due urne, la prima urna con 1 bianca e 1 nera, la seconda con 1000 bianche e 1 nera.
Scegliamo un'urna a caso (50% a testa), ed estraiamo una pallina nera.
Sei d'accordo che la probabilità -a posteriori- di avere scelto l'urna A siano molto maggiori ?
Veramente no, non sono d'accordo.
Noi scegliamo una urna a caso, ed estraiamo una pallina nera.
Non una pallina, ma proprio una pallina nera.
Quindi sono equiprobabili.
Diverso sarebbe stato se fosse stato chiesto "Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera?"
Forse sto dicendo delle cavolate io, ma mi sento abbastanza sicuro
Noi scegliamo una urna a caso, ed estraiamo una pallina nera.
Non una pallina, ma proprio una pallina nera.
Quindi sono equiprobabili.
Diverso sarebbe stato se fosse stato chiesto "Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera?"
Forse sto dicendo delle cavolate io, ma mi sento abbastanza sicuro
Ok, allora forse è un problema di intepretazione 
Io avevo inteso
nel senso che, dopo avere scelto un'urna a caso, si estrae a caso una pallina (una qualunque), e questa risulta essere nera.
Io avevo inteso
"vitos":
Viene estratta da una urna a caso una pallina nera
nel senso che, dopo avere scelto un'urna a caso, si estrae a caso una pallina (una qualunque), e questa risulta essere nera.
Ok, anche io ti avevo dato una risposta di probabilità a priori. Mentre volevi sapere la probabilità a posteriori. :p
Ho fatto i calcoli mi viene lo stesso risultato di cenzo (che è nascosto e non lo scrivo neanche io), quindi credo sia corretto.
P.s. Ero incuriosito quindi ho voluto anche trovare un risultato empirico, simulando al pc con qualche migliaio di cicli, facendogli trovare la possibilità a posteriori (cioè le nere pescate da ogni urna diviso le nere pescate totali). La media dei risultati della simulazione coincide con il risultato ottenuto calcolando!
'Notte
P.s. Ero incuriosito quindi ho voluto anche trovare un risultato empirico, simulando al pc con qualche migliaio di cicli, facendogli trovare la possibilità a posteriori (cioè le nere pescate da ogni urna diviso le nere pescate totali). La media dei risultati della simulazione coincide con il risultato ottenuto calcolando!
'Notte
"Gi8":
Non una pallina, ma proprio una pallina nera.
Quindi sono equiprobabili.
Non penso che il testo intenda questo.
Cioè tu dici:
1) Scelgo a caso una delle 3 urne
2) Guardo all'interno dell'urna (...per essere certo di non pescare una bianca...), e scelgo a caso una delle palline nere.
Se dici così, non sarei manco d'accordo con il tuo risultato finale: $4/15$
Io ho ragionato così (molto semplicemente):
Ho in mano una pallina nera (quindi una delle $15$ che ci sono in tutto).
Qual è la probabilità che questa pallina che ho in mano venga dalla seconda urna?
Poichè nella seconda urna ci sono $4$ palline nere, la probabilità è $4/15$.
Il nocciolo della questione è che si pesca non una pallina qualsiasi, ma proprio una pallina nera, a priori
(secondo me. come diceva cenzo, è un problema di interpretazione)
Un appoggio intuitivo, o visivo, che ho associato al mio ragionamento è il seguente:
Ciascuna urna contiene due grossi sacchetti, uno nero (dove ci sono le palline nere) e uno bianco (dove ci sono le palline bianche).
Scelta una urna a caso, pesco dal sacchetto nero.
Spero di avere descritto in modo sufficientemente chiaro il mio pensiero
Ho in mano una pallina nera (quindi una delle $15$ che ci sono in tutto).
Qual è la probabilità che questa pallina che ho in mano venga dalla seconda urna?
Poichè nella seconda urna ci sono $4$ palline nere, la probabilità è $4/15$.
Il nocciolo della questione è che si pesca non una pallina qualsiasi, ma proprio una pallina nera, a priori
(secondo me. come diceva cenzo, è un problema di interpretazione)
Un appoggio intuitivo, o visivo, che ho associato al mio ragionamento è il seguente:
Ciascuna urna contiene due grossi sacchetti, uno nero (dove ci sono le palline nere) e uno bianco (dove ci sono le palline bianche).
Scelta una urna a caso, pesco dal sacchetto nero.
Spero di avere descritto in modo sufficientemente chiaro il mio pensiero
"Gi8":
Io ho ragionato così (molto semplicemente):
Ho in mano una pallina nera (quindi una delle $15$ che ci sono in tutto).
Qual è la probabilità che questa pallina che ho in mano venga dalla seconda urna?
Poichè nella seconda urna ci sono $4$ palline nere, la probabilità è $4/15$.
Il nocciolo della questione è che si pesca non una pallina qualsiasi, ma proprio una pallina nera, a priori
(secondo me. come diceva cenzo, è un problema di interpretazione)
Un appoggio intuitivo, o visivo, che ho associato al mio ragionamento è il seguente:
Ciascuna urna contiene due grossi sacchetti, uno nero (dove ci sono le palline nere) e uno bianco (dove ci sono le palline bianche).
Scelta una urna a caso, pesco dal sacchetto nero.
Spero di avere descritto in modo sufficientemente chiaro il mio pensiero
Non mi convince.
Riprendo l'appoggio che hai utilizzato dei sacchetti. Facendo come dici te la scelta della pallina nera è sicura (perché qualsiasi urna tu scegli poi peschi dal sacchetto nero che contiene solo palline nere). Quindi il fatto che sia nera è svincolato dall'urna. Con queste condizioni la probabilità di scelta dell'urna è a priori di $1/3$. Che nel sacchetto nero ci siano 1000 pallina o 1 sola non cambia, perché pescherai sempre da quello...
Mentre quello che dici sopra non è propriamente corretto. E' vero che ci sono 4 palline su un totale di 15, ma non tieni conto di altri dettagli. Che la scelta dell'urna comunque ha a priori una percentuale di $1/3$ e una volta scelta la seconda hai una probabilità di 4 palline nere su un totale di 6 palline quindi $2/3$.
Ecco come ho ragionato io (e credo sia lo stesso fatto da cenzo poiché viene lo stesso risultato):
@snisna: si, hai ragione tu. in tutto. L'esempio che ho fatto non avvalora la mia tesi, anzi.
Io pensavo ad un'altra cosa:
Se mi viene data (da un tizio) una pallina nera, qual è la probabilità che questa pallina nera venga dalla seconda urna?
Io pensavo ad un'altra cosa:
Se mi viene data (da un tizio) una pallina nera, qual è la probabilità che questa pallina nera venga dalla seconda urna?
Si ma credo che ci ha messo in difficoltà il modo come era stato posto il problema. Non era chiaro 
"Gi8":
@snisna: si, hai ragione tu. in tutto. L'esempio che ho fatto non avvalora la mia tesi, anzi.
Io pensavo ad un'altra cosa:
Se mi viene data (da un tizio) una pallina nera, qual è la probabilità che questa pallina nera venga dalla seconda urna?
Ecco perchè, prima ti dicevo che non era d'accordo manco sul quel tuo $4/15$ (pur accettando la tua tesi, di scegliere, comunque una pallina nera)
"snisna":
Ecco come ho ragionato io (e credo sia lo stesso fatto da cenzo poiché viene lo stesso risultato):
Cenzo ha applicato Bayes, direi che tu abbia fatto lo stesso ragionamento del londinese.
"Umby":
[quote="snisna"]
Ecco come ho ragionato io (e credo sia lo stesso fatto da cenzo poiché viene lo stesso risultato):
Cenzo ha applicato Bayes, direi che tu abbia fatto lo stesso ragionamento del londinese.
[/quote]si esattamente!
"Umby":Giusto
Ecco perchè, prima ti dicevo che non era d'accordo manco sul quel tuo $4/15$ (pur accettando la tua tesi, di scegliere, comunque una pallina nera)
HO UN SACCHETTO CON 10 PALLINE BIANCHE, 15 ROSSE, 25 VERDI, SI ESTRAGGONO A SORTE TRE PALLINE SENZA RIMETTERLE NE SACCHETTO OGNI VOLTA.
CALCOLARE LA PROBABILITA DI ESTRARRE:
A) 2 PALLINE BIANCHE E 1 ROSSA
B) 1 PALLINA BIANCA E 2 ROSSE
C) 1 PALLINA BIANCA E 2 VERDI
D) 1 PALLINA BIANCA 1 ROSSA E 1 VERDE
mi date na mano..... grazie
CALCOLARE LA PROBABILITA DI ESTRARRE:
A) 2 PALLINE BIANCHE E 1 ROSSA
B) 1 PALLINA BIANCA E 2 ROSSE
C) 1 PALLINA BIANCA E 2 VERDI
D) 1 PALLINA BIANCA 1 ROSSA E 1 VERDE
mi date na mano..... grazie
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