Problema probabilità media varianza e pdf
SUpponiamo che un oggetto viaggi con una velocità V e che abbia una distribuzione jormale standard n.Sia$ Y=(mV^2)/2$
L energia cinetica dell oggetto. Formulare la Pdf di y valutandone media e varianza
Soluzione
$ E {Y}=(m/2 )E (K)= m/2$
Perché ho riconosciuto la distribuzione normale standard al quadrato cioè la Chi-quadrato
$E {Y^2)m^4/4 E (K^2) = 3/4m^2$
Se ho fatto bene i conti poi
$Var (Y)= m^2/4 Var (K)= 1/2m^2$
Se lo svolgimento è corretto ora vorrei capire (anche qualche indizio) come ottenere la f (y) poiché mi sa che non posso utilizzare la normale formula visto che
$ v=+-[(2y)/m]^(1/2)$
Avevo pensanto anche di passare per la CHI QUADRATO , ma non so come procedere
Qualcuno puo aiutarmi?
NB la media la posso anche calcolare con la formula di Tommix prendendo la f (v) della normale standard e integrandola insieme alla
$g (x) $
L energia cinetica dell oggetto. Formulare la Pdf di y valutandone media e varianza
Soluzione
$ E {Y}=(m/2 )E (K)= m/2$
Perché ho riconosciuto la distribuzione normale standard al quadrato cioè la Chi-quadrato
$E {Y^2)m^4/4 E (K^2) = 3/4m^2$
Se ho fatto bene i conti poi
$Var (Y)= m^2/4 Var (K)= 1/2m^2$
Se lo svolgimento è corretto ora vorrei capire (anche qualche indizio) come ottenere la f (y) poiché mi sa che non posso utilizzare la normale formula visto che
$ v=+-[(2y)/m]^(1/2)$
Avevo pensanto anche di passare per la CHI QUADRATO , ma non so come procedere
Qualcuno puo aiutarmi?
NB la media la posso anche calcolare con la formula di Tommix prendendo la f (v) della normale standard e integrandola insieme alla
$g (x) $
Risposte
Se io ti chiamassi 'Cira' invece di 'Ciro' che diresti??
(Mi chiamo tommik, non tommix)
Ciò premesso, non ho guardato l'esercizio ma in questo caso la $chi_((1))^2$ è meglio definirla col suo nome: una distribuzione gamma di parametri $n/2;1/2$ e quindi nel tuo caso ottieni
$Gamma(1/2;1/2)$
A questo punto la densità della pdf cercata è di immediata definizione
EDIT: sì ho guardato e va bene. Per le proprietà della gamma $Y=(mV^2)/2~Gamma(n;theta)-=Gamma(1/2;1/m)$
Quindi
$E[Y]=n/theta =m/2$
$V[Y]=n/theta^2=m^2/2$
Conoscendo le proprietà della funzione generatrice dei momenti individui inmediatamente (lo risolvi a mente) la densità di Y; se non te le ricordi o non le sai puoi usare la formula di trasformazione di variabile (trasformazione monotona[nota]$f_Y(y)=f_X[g^(-1)(y)]|d/(dy)g^(-1)(y)|$[/nota]) e arrivi al medesimo risultato.
(Mi chiamo tommik, non tommix)
Ciò premesso, non ho guardato l'esercizio ma in questo caso la $chi_((1))^2$ è meglio definirla col suo nome: una distribuzione gamma di parametri $n/2;1/2$ e quindi nel tuo caso ottieni
$Gamma(1/2;1/2)$
A questo punto la densità della pdf cercata è di immediata definizione
EDIT: sì ho guardato e va bene. Per le proprietà della gamma $Y=(mV^2)/2~Gamma(n;theta)-=Gamma(1/2;1/m)$
Quindi
$E[Y]=n/theta =m/2$
$V[Y]=n/theta^2=m^2/2$
Conoscendo le proprietà della funzione generatrice dei momenti individui inmediatamente (lo risolvi a mente) la densità di Y; se non te le ricordi o non le sai puoi usare la formula di trasformazione di variabile (trasformazione monotona[nota]$f_Y(y)=f_X[g^(-1)(y)]|d/(dy)g^(-1)(y)|$[/nota]) e arrivi al medesimo risultato.
Scusami Tommik
Io ho optato per 2 starde diverse (senza passare per la gamma)
In ogni caso il risultato che ottengo è
$1/[2pi]^(1/2) [1/(2y/m)^(1/2)] e^(-y/m) 2/m $
La prima strada è quekla di prendere la pdf del quadrato di una v . Normale standard e ottengo la f(y) sostituendo nella f (k) il valore $ 2y/m $ e poi moltiplico per il modulo di $dk/dy $
Con$ K$
chiquadrato $ = V^2$
La 2 strada è quella di applicafe la seguente formula che ho trovato sul silbro
(Quindi non passo per la K e considero la v del testo)
$[f (v)+f (-v)] (dv/dy) $
La strads che hai suggerito tu con la gamma è per me meno intiutiva perche il kegame tra gamma e cjiquadrsto jon mi è immediato
Io ho optato per 2 starde diverse (senza passare per la gamma)
In ogni caso il risultato che ottengo è
$1/[2pi]^(1/2) [1/(2y/m)^(1/2)] e^(-y/m) 2/m $
La prima strada è quekla di prendere la pdf del quadrato di una v . Normale standard e ottengo la f(y) sostituendo nella f (k) il valore $ 2y/m $ e poi moltiplico per il modulo di $dk/dy $
Con$ K$
chiquadrato $ = V^2$
La 2 strada è quella di applicafe la seguente formula che ho trovato sul silbro
(Quindi non passo per la K e considero la v del testo)
$[f (v)+f (-v)] (dv/dy) $
La strads che hai suggerito tu con la gamma è per me meno intiutiva perche il kegame tra gamma e cjiquadrsto jon mi è immediato
Tommik mi puoi far vedere con la gamma oppure con la mgf come si arriva al risultato?
Perché hai detto che facendo come hai detto si arriva al risultato immediatamente e per me è estremamente importante ottimizzare i tempi
Perché hai detto che facendo come hai detto si arriva al risultato immediatamente e per me è estremamente importante ottimizzare i tempi
Dunque, supponiamo che la variabile $X$ si distribuisca come una chi-quadro con un grado di libertà (che è il nostro esempio del quadrato di una normale std). La sua MGF è la seguente
$M_X(t)=(1/(1-2t))^(1/2)$
Fra le varie proprietà della MGF ce n'è una che fa al caso nostro:
$M_(aX)(t)=M_X(at)$
Quindi la MGF della variabile $Y=m/2 X$ è la seguente
$M_Y(t)=(1/(1-mt))^(1/2)$
stop. Riconosciamo subito la MGF di una distribuzione nota: una $Gamma(1/2;1/m)$ e quindi non devi nemmeno tribulare per calcolare media e varianza dato che, conoscendo la distribuzione, conosci anche i suoi valori di sintesi
$E[Y]=(1/2)/(1/m)=m/2$
$V[Y]=(1/2)/(1/m^2)=m^2/2$
ciao
$M_X(t)=(1/(1-2t))^(1/2)$
Fra le varie proprietà della MGF ce n'è una che fa al caso nostro:
$M_(aX)(t)=M_X(at)$
Quindi la MGF della variabile $Y=m/2 X$ è la seguente
$M_Y(t)=(1/(1-mt))^(1/2)$
stop. Riconosciamo subito la MGF di una distribuzione nota: una $Gamma(1/2;1/m)$ e quindi non devi nemmeno tribulare per calcolare media e varianza dato che, conoscendo la distribuzione, conosci anche i suoi valori di sintesi
$E[Y]=(1/2)/(1/m)=m/2$
$V[Y]=(1/2)/(1/m^2)=m^2/2$
ciao
Tommik grazje mille
Volevo fare una precisazione sulla notazione per capire se ci troviamo...
Il mio libro nel definire la mgf della gamma ridotta scrive
$[(lamba )/(lambda -t)]^n $ = Mgf
con $lamba =1/2$
Quindi $Gamma (v/2;lambda) $ è la chi quadrato
Poi per la proprietà che dici tu (che non conoscevo ) ottengo la mgf della y con
$(lamba)=1/m $
Dopo di che il mio lbro non mi dice i momenti della gamma ridotta, ma si ferma nel dirmi quella della esponenziale che vale
$E (.)= 1/(lamba )$
Essendo però la gamma una somma di n esponenziali posso forse dire che la media è quella che hai scritto tu
Per quanto riguarda invece la pdf io ho impiegato molto tempo per risolverla perché ho usato i procedimenti del messaggio precedente , invece tu dici che è immediato e vorrei capire come fai (a me piace conoscere altre alternative rispetto a quelle che so io)
Ad ogni modo il legame tra esponenziale- gamma e chi quadrato mi sta facendo perdere l orientamento
Dammi una mano tommik
Nb chiedo scusa perche la $lamba $ a volte la scrivo bene e altre no
Volevo fare una precisazione sulla notazione per capire se ci troviamo...
Il mio libro nel definire la mgf della gamma ridotta scrive
$[(lamba )/(lambda -t)]^n $ = Mgf
con $lamba =1/2$
Quindi $Gamma (v/2;lambda) $ è la chi quadrato
Poi per la proprietà che dici tu (che non conoscevo ) ottengo la mgf della y con
$(lamba)=1/m $
Dopo di che il mio lbro non mi dice i momenti della gamma ridotta, ma si ferma nel dirmi quella della esponenziale che vale
$E (.)= 1/(lamba )$
Essendo però la gamma una somma di n esponenziali posso forse dire che la media è quella che hai scritto tu
Per quanto riguarda invece la pdf io ho impiegato molto tempo per risolverla perché ho usato i procedimenti del messaggio precedente , invece tu dici che è immediato e vorrei capire come fai (a me piace conoscere altre alternative rispetto a quelle che so io)
Ad ogni modo il legame tra esponenziale- gamma e chi quadrato mi sta facendo perdere l orientamento
Dammi una mano tommik
Nb chiedo scusa perche la $lamba $ a volte la scrivo bene e altre no
In generale
$chi_((n))^2=Gamma(n/2;1/2)$
Mentre $Gamma(1;theta)=Exp(theta)$
Quindi, tanto per fare un esempio
$chi_((2))^2=1/2 e^(-x/2)=Exp(1/2)$
Oppure, altro esempio, se calcoli analiticamente come si distribuisce il quadrato di una normale std trovi che la distribuzione è una $Gamma(1/2;1/2)$ ovvero una $chi_((1))^2$, una chi quadro con 1 gdl.
I valori di sintesi della $Gamma(n;theta)$ sono i seguenti
Media: $n/theta$
Varianza: $n/theta^2$
Valori che si possono facilmente calcolare e dai quali ricavi subito anche quelli delle varie $chi^2$ ed Esponenziale negativa.
La MGF della Gamma $Gamma(n;lambda)$ è giustamente, ad esempio
$(lambda/(lambda-t))^n$
Che si può scrivere anche
$(1/(1-t/lambda))^n$
Nel tuo esercizio trovi subito che la MGF della Y viene
$(1/(1-mt))^(1/2)$ quindi mi pare evidente che stiamo parlando di una $Gamma(1/2;1/m)$
Se così non dovesse essere chiaro non so...forse cambiare testo...quello che uso io di solito è chiarissimo in proposito.. io uso il Mood Graybill Boes
$chi_((n))^2=Gamma(n/2;1/2)$
Mentre $Gamma(1;theta)=Exp(theta)$
Quindi, tanto per fare un esempio
$chi_((2))^2=1/2 e^(-x/2)=Exp(1/2)$
Oppure, altro esempio, se calcoli analiticamente come si distribuisce il quadrato di una normale std trovi che la distribuzione è una $Gamma(1/2;1/2)$ ovvero una $chi_((1))^2$, una chi quadro con 1 gdl.
I valori di sintesi della $Gamma(n;theta)$ sono i seguenti
Media: $n/theta$
Varianza: $n/theta^2$
Valori che si possono facilmente calcolare e dai quali ricavi subito anche quelli delle varie $chi^2$ ed Esponenziale negativa.
La MGF della Gamma $Gamma(n;lambda)$ è giustamente, ad esempio
$(lambda/(lambda-t))^n$
Che si può scrivere anche
$(1/(1-t/lambda))^n$
Nel tuo esercizio trovi subito che la MGF della Y viene
$(1/(1-mt))^(1/2)$ quindi mi pare evidente che stiamo parlando di una $Gamma(1/2;1/m)$
Se così non dovesse essere chiaro non so...forse cambiare testo...quello che uso io di solito è chiarissimo in proposito.. io uso il Mood Graybill Boes
Ho ritrovato il filo del discorso .. per fare un esempio
$ chi ^2 (4)=Gamma (2,1/2)=exp (1/2)+exp (1/2) $
E quindi la media viene
$ 1/lambda +1/lambda =2+2=4 $
E mi trovo con la tua formula
$ n/lambda =2 (2)=4 $
Il mio libro dice che l espknenziale ha parametro lambda e non teta (per wuesro ho cambiato)
Ti ringrazio infinitamente per queste cose che mi stanno facendo capire per bene i vari legami tra ke distribuzioni
Te ne somo grato
Adesso però vorrei anche capire (possibilmente ) come velocizzare il cslcolo della pdf senza passare per la trasformazione che ho usato io
$ chi ^2 (4)=Gamma (2,1/2)=exp (1/2)+exp (1/2) $
E quindi la media viene
$ 1/lambda +1/lambda =2+2=4 $
E mi trovo con la tua formula
$ n/lambda =2 (2)=4 $
Il mio libro dice che l espknenziale ha parametro lambda e non teta (per wuesro ho cambiato)
Ti ringrazio infinitamente per queste cose che mi stanno facendo capire per bene i vari legami tra ke distribuzioni
Te ne somo grato
Adesso però vorrei anche capire (possibilmente ) come velocizzare il cslcolo della pdf senza passare per la trasformazione che ho usato io
@Ciro584
Usare l'anteprima prima di inviare un messaggio sarebbe una buona cosa ...
Usare l'anteprima prima di inviare un messaggio sarebbe una buona cosa ...
"tommik":
la $chi_((1))^2$ è meglio definirla col suo nome: una distribuzione gamma di parametri $n/2;1/2$ e quindi nel tuo caso ottieni
$Gamma(1/2;1/2)$
Piccola intrusione. Anche il libro usa questa notazione però non capisco cosa si intenda. Io so che la distribuzione di tipo gamma ha la seguente funzione di densità
$f(x)={ ( lambda^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-lambdax) ,if x>0 ),( 0 , if x<=0 ):}$
dove
$Gamma(n)=(n-1)! qquad, AA n>=1$
Mentre $Gamma(n/2,1/2)$ come si esplicita?
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
EDIT: è forse un abuso di notazione per indicare i parametri caratteristici della distribuzione $Gamma(alpha, lambda)$?
@Magma.... $Gamma(alpha)=(alpha-1)!$ non è una definizione e va usata con una certa cautela...vale quando $n>=1$ è intero. La definizione della Gamma di Eulero è
$Gamma(alpha)=int_0^(+oo)x^(alpha-1)e^(-x)dx$
Risolvendo tale integrale per parti non è difficile dimostrare la seguente regola ricorsiva
$Gamma(alpha+1)=alphaGamma(alpha)$
Inoltre, con un semplice cambio di variabile e un passaggio in polari trovi che
$Gamma(1/2)=sqrt(pi)$
Mettendo insieme questo risultato con la regola ricorsiva di cui sopra, riesci ad esplicitare subito tutti i valori di gamma multipli di $1/2$. Per i valori non esplicitabili si lascia $Gamma(alpha)$
Per quanto riguarda il quadrato della normale std, procedi nel medesimo modo:
Da qui, per trovare la Chi Quadro con $n$ gradi di libertà sfrutti le proprietà della funzione generatrice dei momenti....
$Gamma(alpha)=int_0^(+oo)x^(alpha-1)e^(-x)dx$
Risolvendo tale integrale per parti non è difficile dimostrare la seguente regola ricorsiva
$Gamma(alpha+1)=alphaGamma(alpha)$
Inoltre, con un semplice cambio di variabile e un passaggio in polari trovi che
$Gamma(1/2)=sqrt(pi)$
Mettendo insieme questo risultato con la regola ricorsiva di cui sopra, riesci ad esplicitare subito tutti i valori di gamma multipli di $1/2$. Per i valori non esplicitabili si lascia $Gamma(alpha)$
Per quanto riguarda il quadrato della normale std, procedi nel medesimo modo:
Da qui, per trovare la Chi Quadro con $n$ gradi di libertà sfrutti le proprietà della funzione generatrice dei momenti....
Comunque tommik ne approfitto (visto che il post è stato ripreso) per dirti che oesno di aver capito come si ottiene la pdf seguendo la tua strada e cioè
Visto che
$ Phi (t)=(1/(1-mt))^(1/2) $
Basta che sostitiusco i valori di n=1/2 e
$ lambda =1/m $ nella f (x) della gamma che sul mio libro è cosi definita
$f (x)=lambda e^(-lambda x)[(lambda x)^(n-1)/(Gamma (n))] $
E otengo il risultato
Comunque ti volevo chiedere
Ho provato ad ottenere la media sempre con il teorema fondamentale della media, ma prendendo stavolta come f (v) quella della chiquadro(e nin quella della normale standard)
, ma il risultato non viene
Come mai? (Avrò sbagliatoa risolvere integrake oppure è normale che venga diverso)
Io pensavo che comq dovesse venire la stessa cosa
Visto che
$ Phi (t)=(1/(1-mt))^(1/2) $
Basta che sostitiusco i valori di n=1/2 e
$ lambda =1/m $ nella f (x) della gamma che sul mio libro è cosi definita
$f (x)=lambda e^(-lambda x)[(lambda x)^(n-1)/(Gamma (n))] $
E otengo il risultato
Comunque ti volevo chiedere
Ho provato ad ottenere la media sempre con il teorema fondamentale della media, ma prendendo stavolta come f (v) quella della chiquadro(e nin quella della normale standard)
, ma il risultato non viene
Come mai? (Avrò sbagliatoa risolvere integrake oppure è normale che venga diverso)
Io pensavo che comq dovesse venire la stessa cosa
la formula che dà il tuo libro è identica a quella postata da @Magma....ha solo 'tirato fuori' un $lambda$ dalla parentesi.
Per trovare la media di Y con la chi quadro basta fare così
$E[(mV^2)/2]=m/2E[V^2]=m/2$
dato che la media di una chi quadro è pari ai suoi gradi di libertà...in questo caso $E[V^2]=1$
puoi anche risolvere l'integrale analiticamente:
Sia $X$ una chi quadro con un grado di libertà:
Quindi
$f_X(x)=(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))x^(1/2-1)e^(-x/2)$
la media è ovviamente $intxf(x)dx$ e quindi, nel nostro caso:
$E[X]=int_(0)^(+oo)(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))x^(1/2)e^(-x/2)dx=int_(0)^(+oo)(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))x^(3/2-1)e^(-x/2)dx=$
$=(Gamma(3/2))/(Gamma(1/2)*1/2)int_(0)^(+oo)(1/2)^(3/2)/(Gamma(3/2))x^(3/2-1)e^(-x/2)dx=(Gamma(3/2))/(Gamma(1/2)*1/2)=(2*1/2*sqrt(pi))/sqrt(pi)=1$
L'ultimo integrale è ovviamente uno, dato che è proprio il nucleo di una Chi Quadro con 3 gdl
fine
Ora dovrebbe essere chiaro a tutti gli interessati; in modo analogo puoi calcolare il momento secondo e trovare la varianza della chi quadro o della Gamma...buona lettura ed eventualmente buon lavoro
Per trovare la media di Y con la chi quadro basta fare così
$E[(mV^2)/2]=m/2E[V^2]=m/2$
dato che la media di una chi quadro è pari ai suoi gradi di libertà...in questo caso $E[V^2]=1$
puoi anche risolvere l'integrale analiticamente:
Sia $X$ una chi quadro con un grado di libertà:
Quindi
$f_X(x)=(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))x^(1/2-1)e^(-x/2)$
la media è ovviamente $intxf(x)dx$ e quindi, nel nostro caso:
$E[X]=int_(0)^(+oo)(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))x^(1/2)e^(-x/2)dx=int_(0)^(+oo)(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))x^(3/2-1)e^(-x/2)dx=$
$=(Gamma(3/2))/(Gamma(1/2)*1/2)int_(0)^(+oo)(1/2)^(3/2)/(Gamma(3/2))x^(3/2-1)e^(-x/2)dx=(Gamma(3/2))/(Gamma(1/2)*1/2)=(2*1/2*sqrt(pi))/sqrt(pi)=1$
L'ultimo integrale è ovviamente uno, dato che è proprio il nucleo di una Chi Quadro con 3 gdl
fine
Ora dovrebbe essere chiaro a tutti gli interessati; in modo analogo puoi calcolare il momento secondo e trovare la varianza della chi quadro o della Gamma...buona lettura ed eventualmente buon lavoro
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