Problema probabilità gestione password.

[mcmarra]

Si vuole riservare l'accesso ad un certo servizio a $M=100$ utenti, a ciascuno dei quali viene assegnata una password diversa formata da $n$ cifre decimali (le password sono stringhe lunghe $n$ in cui ciascun elemento è un numero da $0$ a $9$). Sia $p$ la probabilità di trovare una password al generico tentativo scegliendo una stringa. Qual è il minimo valore di $n$ tale per cui $p<10^-2$?

Il mio ragionamento è il seguente:
Per 100 utenti devo vere minimo una password a 2 cifre da 00 a 99 per coprire i 100 utenti, la possibilità di individuare una password in questo caso poiché sono tutte password attive è $P(2 digit)=100/100=1$ saremo in presenza dell'evento certo {ho individuato una password}.

Se il numero di cifre è 3 ho a disposizione 1000 password possibili 000 a 999 ne ha assegnate solo 100 la possibilità di individuare una password è $p(3 digit)=100/1000=10^-1$

Se il numero di cifre è 4 ho a disposizione 10000 password possibili da 0000 a 9999 ne ho assegnare solo 100 la possibilità di individuare una password è $p(4 digit)=100/10000=10^-2$

Pertanto per avere una probabilità $p<10^-2$ devo necessariamente avere minimo 5 cifre con 100000 password a disposizione su 100 assegnate avrò una probabilità $p(5 digit)=100/100000=10^-3<10^-2$ richiesta dal problema.
Mi dareste conferma dell'esattezza del ragionamento. Grazie.