Problema Matrice deviazione
Salve, cerco d'illustrarvi il più chiaramente possibile il mio problema. Di seguito la definizione del mio libro di una matrice deviazione:
Indichiamo con \(S \in \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^p \) la matrice delle varianze e delle covarianze della matrice dei dati \(X \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^p \). La deviazione di \(X \), che indichiamo con \(S^{1/2} \), è la matrice simmetrica e semidefinita positiva che moltiplicata per se stessa è uguale alla matrice delle varianze e delle covarianze dei dati stessi.
Ok, fin qui nessun problema, la definizione mi è più che chiara. Poi però c'è un esempio che mi confonde. ed è il seguente:
Calcoliamo la matrice di deviazione corrispondente alla matrice di dati \(X = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 6\\ 6 & 9\end{pmatrix} \). La matrice delle varianze e delle covarianze della suddetta matrice dei dati è: \(S = \begin{pmatrix}6& 3 \\ 3 & 14 \end{pmatrix}\). (Fin qui ancora tutto ok!). Di conseguenza la matrice deviazione è: \(S^{1/2} = \begin{pmatrix}2,3998 & 0,4911 \\ 0,4911 & 3,7093\end{pmatrix} \). Il mio problema in tutto ciò è che questo è un po' un esempio del cavolo poiché mi da il risultato finale senza farmi vedere i passaggi. Io sarei in cerca di qualche buon uomo che mi faccia vedere come si arriva da \(S \) a \(S^{1/2} \) passo dopo passo. Grazie
Indichiamo con \(S \in \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^p \) la matrice delle varianze e delle covarianze della matrice dei dati \(X \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^p \). La deviazione di \(X \), che indichiamo con \(S^{1/2} \), è la matrice simmetrica e semidefinita positiva che moltiplicata per se stessa è uguale alla matrice delle varianze e delle covarianze dei dati stessi.
Ok, fin qui nessun problema, la definizione mi è più che chiara. Poi però c'è un esempio che mi confonde. ed è il seguente:
Calcoliamo la matrice di deviazione corrispondente alla matrice di dati \(X = \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 6\\ 6 & 9\end{pmatrix} \). La matrice delle varianze e delle covarianze della suddetta matrice dei dati è: \(S = \begin{pmatrix}6& 3 \\ 3 & 14 \end{pmatrix}\). (Fin qui ancora tutto ok!). Di conseguenza la matrice deviazione è: \(S^{1/2} = \begin{pmatrix}2,3998 & 0,4911 \\ 0,4911 & 3,7093\end{pmatrix} \). Il mio problema in tutto ciò è che questo è un po' un esempio del cavolo poiché mi da il risultato finale senza farmi vedere i passaggi. Io sarei in cerca di qualche buon uomo che mi faccia vedere come si arriva da \(S \) a \(S^{1/2} \) passo dopo passo. Grazie
Risposte
passare da $S$ a $S^(1/2)$ è un problema di calcolo matriciale più che di statistica quindi forse il libro lo dà per scontato o lo riporta in un capitolo apposito...
comunque un modo per farlo è diagonalizzare la matrice e calcolare la radice della matrice diagonale elemento per elemento
comunque un modo per farlo è diagonalizzare la matrice e calcolare la radice della matrice diagonale elemento per elemento
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