Problema legato all'algebra

[Boxyes]

Salve ho un altro quesito per la comunità
Supponiamo di avere due eventi $A B$ e di conoscere le seguenti probabilità:
$P(A|B)=a$
$P(B|A^c)=b$
$P(A|B^c)=c$
devo ricavare
$P(A nn B)$
allora ho scritto la formula della prob. condizionate e poi ho fatto un sistema basandomi sui seguenti fatti:
1) $P(A nn B^c)=P(A) - P(A nn B)$
2) $P(A^c)=1-P(A)$
mentre sono molto sicuro della seconda, non so se la prima è così pulita, algebricamente non ci piove, ma funziona allo stesso modo anche per le probabilità?
alla fine ho il seguente sistema:
$\{ ((P(A nn B))/(P(B))=a),((P(B)-P(A nn B))/(1-P(A))=b),((P(A) -P(A nn B))/(1-P(B))=c) :}$
facendo tutte le sostituzioni del caso si dovrebbe arrivare alla formula risolutiva:
$P(A nn B)=(a*(b*(1-c)))/(b*c+1-a+a*b)$
Può andare o l'assunzione numero (1) non va?

[vict85]

Di fatto supposto che si abbia \(\displaystyle P(A)\neq 1 \) e \(\displaystyle P(B)\neq \{0,1\} \) ti ritrovi con il seguente sistema lineare.

\[\begin{pmatrix}0 & 1 & -a \\ b & -1 & 1 \\ 1 & -1 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix}P(A) \\ P(A\cap B) \\ P(B) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ b \\ c \end{pmatrix}\]

La matrice ha determinante \(\displaystyle 1 + b(a-c) + a \).

Usando cramer si ricava \(\displaystyle P(A\cap B) = \frac{ab(1-c)}{1 + b(a-c) + a} \).

Quindi direi che il tuo calcolo è corretto.

[Boxyes]

Grazie 1000, ho tutto un po più chiaro.