Problema gioco delle buste

[Palliit]

Buongiorno a tutti, scrivo per esporre un dubbio.

Tempo fa lessi un articolo che si ispirava ad un gioco televisivo americano. Il concorrente sceglie una fra tre buste (A, B oppure C); una contiene un premio, le altre nulla. Fatta la scelta, il presentatore apre una delle due rimaste mostrando che non contiene nulla e chiede al concorrente se intende tenere la busta scelta o cambiarla con quella rimasta. Se il concorrente cambia la busta, la probabilità di vincere è maggiore, uguale o minore che non quella nel caso in cui invece si tenga la propria? L'articolo risolve la faccenda così: supponiamo che la busta col premio sia la C; allora tre casi:

1. il concorrente sceglie la A, ovviamente il presentatore gli fa vedere che nella B non c'è nulla, quindi se tiene la busta perde, se la cambia (con la C che è rimasta) vince;

2. il concorrente sceglie la B, ovviamente il presentatore gli fa vedere che nella A non c'è nulla, quindi se tiene la busta perde, se la cambia (con la C che è rimasta) vince;

3. il concorrente sceglie la C ; il presentatore apre indifferentemente la A o la B, in ogni caso se il concorrente tiene la busta vince, se la cambia perde.

Conclusione: se cambia la busta, in due casi vince ed in uno perde quindi la probabilità (subordinata) di vincere cambiando busta è $2/3$.

Mi pare ci sia una falla nel ragionamento. Credo che il caso 3. sia in realtà da scomporre in due casi elementari:

3.1 il concorrente sceglie la C ; il presentatore apre la A , se il concorrente tiene la busta vince, se la cambia perde;

3.2 il concorrente sceglie la C ; il presentatore apre la B , se il concorrente tiene la busta vince, se la cambia perde.

Così gli esiti possibili diventano $8$, in $4$ dei quali il concorrente vince cambiando la busta e pertanto la probabilità di vincita rimane la stessa indipendentemente dalla scelta fatta.

Chi ha ragione?

[Lo_zio_Tom]

intanto leggi qui. E' lo stesso esercizio più generalizzato proposto da un utente.

poi, just in case, cercherò di dipanare meglio il tuo dubbio. La scelta è indifferente se il presentatore non conosce il contenuto delle buste altrimenti no.

[axpgn]

È una variante del famoso "Paradosso di Monty Hall"

Cordialmente, Alex

[Lo_zio_Tom]

A mio avviso la spiegazione migliore è con il teorema di Bayes[nota]vedi link che ho messo nel precedente post[/nota]ma vediamo di spiegarlo in modo differente (ho voglia di farmi del male )

"Palliit":
Così gli esiti possibili diventano $8$, in $4$ dei quali il concorrente vince cambiando la busta e pertanto la probabilità di vincita rimane la stessa indipendentemente dalla scelta fatta.

Non proprio...
Sì in effetti ci sono 8 eventi elementari: 4 dove si cambia e 4 dove si tiene; in entrambi i casi ci sono 2 casi in cui si vince e 2 casi in cui si perde....ma non tutti gli 8 eventi sono equiprobabili, e ciò a causa dell'asimmetria di informazioni fra Presentatore (che sa dove c'è il premio) e Concorrente (che invece non lo sa)

Ecco una tabellina dove ho supposto che il concorrente scelga se Cambiare o Tenere lanciando una moneta[nota]stessa ipotesi anche per il Presentatore nel caso debba aprire A oppure B se il Concorrente sceglie la busta giusta, ovvero C[/nota], supponendo che il premio sia in C:

(cliccami per ingrandirmi)




Come vedi, l'accoppiata Cambia-Vince ha probabilità $2/6$ mentre l'accoppiata Tiene-Vince ha probabilità $1/6$, ovvero la metà.

Il che equivale a dire che la probabilità di vincere dato che Cambia è $2/3$ menntre la probabilità di Vincere dato che Tiene è $1/3$ cioè lo stesso risultato ottenuto con Bayes.

Ora dovrebbe essere chiaro.

Nell'esempio del link precedente postato da @Gughigt l'esercizio era più articolato ma la sostanza è la stessa.

[Palliit]

grazie mille!