Problema funzione massima verosomiglianza
Salve! Scrivo questo post, perché facendo un esercizio sulla stima a massima verosomiglianza, purtroppo mi sono bloccato e cerco aiuto.
La traccia dice:
sono dati i tempi di sopravvivenza di alcune cavie da laboratorio
14,17,27,18,12,8,22,13,19
supponendo che questi tempi seguano una distribuzione di probabilità esponenziale
$F(x_i) = 1-e^(-X_i/ \beta$
stimare $\beta$
Allora, poiché i dati posso supporli come iid, per calcolare la mia funzione di verosomiglianza, posso semplicemente eseguire il prodotto delle singole densità dei dati:
$L(\beta) = \prod_{i=1}^\10 (1-e^(-X_i/\beta))$
quindi passo alla log verosomiglianza per semplificare i conti:
$log L(\beta) = log \prod_{i=1}^\10 (1-e^(-X_i/\beta)) = \sum_{i=1}^\10 log(1-e^(-X_i/\beta)) $
cerco il massimo: calcolo la derivata della funzione di log verosomiglianza e la impongo uguale a 0: prendo in riferimento una singola misurazione per il calcolo della derivata:
$d/(d \beta) log L(\beta) = -X_i / (\beta)^2 (e^(-X_i/ \beta)/(1-e^(-X_i/ \beta))) = 0 $
prendendo in considerazione tutte le misurazioni ottengo:
$\sum_{i=1}^\10 -X_i / (\beta)^2 (e^(-X_i/ \beta)/(1-e^(-X_i/ \beta))) = 1/ (\beta)^2 \sum_{i=1}^\10 -X_i (e^(-X_i/ \beta)/(1-e^(-X_i/ \beta)))=0 $
purtroppo qui mi blocco
Come posso ricavare $\beta$ ?
La traccia dice:
sono dati i tempi di sopravvivenza di alcune cavie da laboratorio
14,17,27,18,12,8,22,13,19
supponendo che questi tempi seguano una distribuzione di probabilità esponenziale
$F(x_i) = 1-e^(-X_i/ \beta$
stimare $\beta$
Allora, poiché i dati posso supporli come iid, per calcolare la mia funzione di verosomiglianza, posso semplicemente eseguire il prodotto delle singole densità dei dati:
$L(\beta) = \prod_{i=1}^\10 (1-e^(-X_i/\beta))$
quindi passo alla log verosomiglianza per semplificare i conti:
$log L(\beta) = log \prod_{i=1}^\10 (1-e^(-X_i/\beta)) = \sum_{i=1}^\10 log(1-e^(-X_i/\beta)) $
cerco il massimo: calcolo la derivata della funzione di log verosomiglianza e la impongo uguale a 0: prendo in riferimento una singola misurazione per il calcolo della derivata:
$d/(d \beta) log L(\beta) = -X_i / (\beta)^2 (e^(-X_i/ \beta)/(1-e^(-X_i/ \beta))) = 0 $
prendendo in considerazione tutte le misurazioni ottengo:
$\sum_{i=1}^\10 -X_i / (\beta)^2 (e^(-X_i/ \beta)/(1-e^(-X_i/ \beta))) = 1/ (\beta)^2 \sum_{i=1}^\10 -X_i (e^(-X_i/ \beta)/(1-e^(-X_i/ \beta)))=0 $
purtroppo qui mi blocco
Come posso ricavare $\beta$ ?
Risposte
Ciao Dj,
hai usato la funzione di distribuzione e non quella di densità, ecco perché i calcoli diventano complicati oltre che non conformi al metodo di massima verosimiglianza.
Andrea
hai usato la funzione di distribuzione e non quella di densità, ecco perché i calcoli diventano complicati oltre che non conformi al metodo di massima verosimiglianza.
Andrea
Grazie mille per la tua risposta!
Ho usato la tua indicazione e i conti tornano
Supponiamo di chiamare $\lambda = 1/\beta$; la funzione densità diventa:
$f(\lambda) = \lambda e^(-\lambda x)$
Quindi trovo la funzione di verosomiglianza:
$L(\lambda)=\prod_{i=1}^10 \lambda e^(-\lambda x_i)= ... = \lambda^10 e^(-\sum_{i=1}^10 x_i)$
Passo alla funzione di log verosomiglianza:
$log L(\lambda) = n log(\lambda) - \lambda \sum_{i=1}^10 x_i$
Derivo rispetto a $\lambda$ per trovare il massimo:
$d/(d \lambda) = n/\lambda - \sum_{i=1}^10 x_i = 0$
da cui:
$\lambda = 1/n \sum_{i=1}^10 x_i$
Il risultato è confermato facendo la derivata seconda
Grazie!
Ho usato la tua indicazione e i conti tornano
Supponiamo di chiamare $\lambda = 1/\beta$; la funzione densità diventa:
$f(\lambda) = \lambda e^(-\lambda x)$
Quindi trovo la funzione di verosomiglianza:
$L(\lambda)=\prod_{i=1}^10 \lambda e^(-\lambda x_i)= ... = \lambda^10 e^(-\sum_{i=1}^10 x_i)$
Passo alla funzione di log verosomiglianza:
$log L(\lambda) = n log(\lambda) - \lambda \sum_{i=1}^10 x_i$
Derivo rispetto a $\lambda$ per trovare il massimo:
$d/(d \lambda) = n/\lambda - \sum_{i=1}^10 x_i = 0$
da cui:
$\lambda = 1/n \sum_{i=1}^10 x_i$
Il risultato è confermato facendo la derivata seconda
Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo