Problema Funzione di Ripartizione

[Luke941]

Salve a tutti. Devo calcolare la funzione di ripartizione della variabile aleatoria |X-Y| con X e Y indipendenti e uniformi su [0,1]. Io ho ragionato in questo modo, dato che |X-Y|
\(\displaystyle \lmoustache \lmoustache \)1 dxdy nell'intervallo [X-t,X+t] e poi nell'intervallo [0,1]

Ho utilizzato la funzione 1 poichè essendo X e Y indipendenti e con densità 1 entrambi la densità congiunta è il prodotto delle due. Ecco, qui sta il problema, il risultato dell'integrale mi viene 2t. Secondo degli appunti del mio prof invece viene 1- (1-t)^2 . Cosa ho sbagliato??

[Talos1]

Io di solito con gli integrali doppi disegno sempre, se fa un disegnino si vede quasi subito. Non so come farlo con Latex, se disegni l'asse $x$ ed $y$ e fai il quadrato del dominio delle due varibaili e disegni le due rette $y=x+2$ e $y=x-2$, vedrai che la cosa è quasi immediata. L'area totale, quindi la probabilità totale è $1$ a cui sottrai i triangolini in alto e in basso (che diventano più grandi o più piccoli al variare della $t$). La probabilità cercata è quella in mezzo alle due rette per cui fai $1$ - l'area dei due trinagoli che hanno base ed altezza pari a $(1-t)$. Per cui $A=\frac{(1-t)^2}{2}$, moltiplicato per $2$ diventa $(1-t)^2$, per cui si ha il risultato finale $1-(1-t)^2$