Problema funzione densità di probabilità e funzione di ripartizione

[elisabetta891]

Buongiorno a tutti.

Sto affrontando la preparazione dell'esame di Statistica e sto incontrando alcune difficoltà nello svolgimento degli esercizi sulle funzioni di densità di probabilità e sulle funzioni di ripartizione delle variabili aleatorie continue.
In particolare, volevo chiedere se qualcuno potesse aiutarmi con lo svolgimento del seguente esercizio:

"Sia data la seguente funzione di variabile reale

$ f_X(x) = 1/(sigma root()2)e^(-root()2/sigma |x-mu| $

dove $ mu $ e $ sigma $ sono parametri della funzione.
1) Esistono valori di $ mu $ e $ sigma $ per cui $ f_X(x) $ è una PDF?

In questo caso ho impostato la definizione di PDF, per cui:
$ int_(-∞)^(+∞) f_X(x) dx = 1 $

In particolare, vista la presenza del modulo all'esponente, ho svolto tale condizione come somma dei due seguenti
integrali:

$ int_(-∞)^(mu)-f_X(x) dx + int_(mu)^(+∞)f_X(x) dx = 1 $

ed ho ottenuto come risultato $ mu $ = $ 1/2 $. E' corretto come procedimento?
Per il parametro $ sigma $ invece cosa devo fare?

2) Calcolare la funzione di ripartizione CDF a partire dalla PDF.

Qui mi trovo in serie difficoltà: so che la funzione di ripartizione viene definita come integrale della PDF, e per ottenerla
devo utilizzare la seguente formula:

$ F_X(x) = int_(-∞)^(x) f(t) dt $
dove $ f(t) $ è la funzione densità di probabilità che io ho calcolato in questo modo:


$ f_X(x) = { (0 if x<=0 ),(1/(sigma root()2)e^(-root()2/sigma |mu-x|)if 0 (1/(sigma root()2)e^(-root()2/sigma |x-mu|) if x>=mu):} $

Non riesco però a capire come trovare gli intervalli di integrazione con cui integrare la funzione di densità per ottenere
la CDF. Qualcuno mi potrebbe gentilmente aiutare?
Grazie in anticipo!

[feddy]

Non ho fatto alcun conto.
il procedimento per dimostrare che è una densità è il solito e a meno di conti mi sembra corretto. Visto che per essere una densità l'area sottesa deve essere $1$ la scelta sarà $\sigma=1$.

Per la funzione di ripartizione:

"elisabetta89":$f_X(x) = { (0 if x<=0 ),(1/(sigma root()2)e^(-root()2/sigma |mu-x|)if 0=mu):}$

Il modulo lo devi togliere ora, hai già diviso gli intervalli di interesse $(-\infty,0]$ (misura nulla), $(0,\mu)$ e $[\mu, +infty)$.

Per esempio, hai che $\frac{1}{sqrt(2) \sigma} \int_{0}^{x} e^(-root()2/sigma (mu-t))dt$, valida appunto per $x \in (0,mu]$. Al di fuori di questo intervallo (soprattutto a destra) dovrai considerare l'espressione valida negli altri intervalli


Edit
Non conoscevo neppure io questa distribuzione e mi sono fidato un po' troppo dei conti dell'OP !

[Lo_zio_Tom]

Hai sbagliato sicuramente qualche cosa. Quella variabile è una distribuzione nota: si chiama distribuzione di Laplace dove poni $b=sigma/sqrt(2)$.
È una pdf per qualunque valore di $x in RR$ con i seguenti parametri:

$mu in RR$
$sigma in R^+$

E la CDF viene così

$F_X(x)={{:(1/2e^(sqrt(2)/sigma (x-mu)),;x=mu):}$

Sono sicuro che con questi suggerimenti risolverai da sola altrimenti domani ti posto alcuni passaggi chiave

[elisabetta891]

Ti ringrazio moltissimo per la risposta!

Ho davvero passato un sacco di tempo su questo esercizio e ho paura di avere fatto un sacco di confusione, quindi se potessi aiutarmi con qualche passaggio chiave ulteriore te ne sarei davvero grata!

Grazie ancora!

[Lo_zio_Tom]

Guarda che è davvero molto semplice. Se imposti la condizione di normalizzazione spezzando il modulo è immediato vedere che fa 1 $AA sigma >0, mu in RR$

Anzi per la simmetria della funzione ti basta calcolare solo metà dell'integrale

$int_(-oo)^(mu)1/(sigma sqrt(2))e^(sqrt(2)/sigma (x-mu))dx=1/2e^(sqrt(2)/sigma (x-mu))]_(-oo)^(mu)=1/2$

...ovviamente deve essere $sigma >0$ altrimenti l'integrale diverge

e la stessa cosa vale per l'altra metà dell'integrale.
Per trovare la CDF fai così: per la prima parte

$int_(-oo)^(x)1/(sigma sqrt(2))e^(sqrt(2)/sigma (t-mu))dt=1/2 e^(sqrt(2)/sigma (t-mu))]_(-oo)^(x)=1/2 e^(sqrt(2)/sigma (x-mu))$

Questo per $x
Per la seconda parte farai $ F_X=1/2 +int_(mu)^(x)f(t)dt$ e risolvi. Ho dovuto sommare $1/2=F_X(mu)$ perché la CDF è la distribuzione cumulata....

@feddy: mai fidarsi dei conti degli altri

[elisabetta891]

Grazie mille!!!
Ora è tutto davvero più chiaro, sei stato gentilissimo!!!