Problema es. info osservata
CIao a tutti, posto questo esercizio che mi chiede di calcolare l'informazione osservata.
Due aste con lunghezze non note $ mu_1 $ e $ mu_2$ sono state misurate prima singolarmente, poi assieme. Dando luogo a tre misure $ y_1, y_2, y_3 $. Assumiamo che le misure siano variabili casuali i.i.d distribuite come delle normali $N(mu_1,1), N(mu_2,1),N(mu_1+mu_2,1) $ rispettivamente. Nella fattispecie sono state osservate: $y_1 = 23.2$; $y_2 = 24.8$; $y_3=y_2+y_1 = 48$.
La funzione di verosimiglianza mi risulta:
$ L(theta)=L(mu_1,mu_2)=P(Y_1 = y_1; theta)*P(Y_2=y_2;theta)= 1/(2pi) e^(-1/2[(y_1-mu_1)^(2)+(y_2-mu_2)^(2)] $ in quanto il campione che osserviamo è frutto di due sole variabili i.i.d e non da n variabili i.i.d, quindi ho pensato potesse essere solamente la densità del prodotto di due variabili normali indipendenti.
$l(theta)=-1/2[(y_1-mu_1)^(2)+(y_2-mu_2)^(2)] $
$ l(theta)^(I) = { ( (dl(theta))/(dmu_1)=0 ),( (dl(theta))/(dmu_2)=0 ):} $ $ rArr { ( hat(mu_1)=y_1),(hat(mu_2)=y_2 ):} $
Per verificare che sia un massimo vado a calcolare le derivate parziali di $l(theta)^(I)$ e mi risultano:
$ l(theta)^(II)= [ ( -1 , 0 ),( 0 , -1 ) ] $, quindi teoricamente il punto trovato dovrebbe essere di massimo in quanto il determinante dell'Hessiano è positivo e il primo elemento della matrice è negativo.
Il problema è che, chiaramente, in tal modo, se vado a calcolare la matrice d'informazione osservata il valore risultante è negativo (e ciò è chiaramente errato); dove sbalgio? L'errore credo sia concettuale, già nel calcolo della funzione di verosimiglianza.
Siate magnanimi se ho scritto bestialate,è la prima volta che mi cimento in questo tipo di esercizi (quindi abbiate pietà di me).
Due aste con lunghezze non note $ mu_1 $ e $ mu_2$ sono state misurate prima singolarmente, poi assieme. Dando luogo a tre misure $ y_1, y_2, y_3 $. Assumiamo che le misure siano variabili casuali i.i.d distribuite come delle normali $N(mu_1,1), N(mu_2,1),N(mu_1+mu_2,1) $ rispettivamente. Nella fattispecie sono state osservate: $y_1 = 23.2$; $y_2 = 24.8$; $y_3=y_2+y_1 = 48$.
La funzione di verosimiglianza mi risulta:
$ L(theta)=L(mu_1,mu_2)=P(Y_1 = y_1; theta)*P(Y_2=y_2;theta)= 1/(2pi) e^(-1/2[(y_1-mu_1)^(2)+(y_2-mu_2)^(2)] $ in quanto il campione che osserviamo è frutto di due sole variabili i.i.d e non da n variabili i.i.d, quindi ho pensato potesse essere solamente la densità del prodotto di due variabili normali indipendenti.
$l(theta)=-1/2[(y_1-mu_1)^(2)+(y_2-mu_2)^(2)] $
$ l(theta)^(I) = { ( (dl(theta))/(dmu_1)=0 ),( (dl(theta))/(dmu_2)=0 ):} $ $ rArr { ( hat(mu_1)=y_1),(hat(mu_2)=y_2 ):} $
Per verificare che sia un massimo vado a calcolare le derivate parziali di $l(theta)^(I)$ e mi risultano:
$ l(theta)^(II)= [ ( -1 , 0 ),( 0 , -1 ) ] $, quindi teoricamente il punto trovato dovrebbe essere di massimo in quanto il determinante dell'Hessiano è positivo e il primo elemento della matrice è negativo.
Il problema è che, chiaramente, in tal modo, se vado a calcolare la matrice d'informazione osservata il valore risultante è negativo (e ciò è chiaramente errato); dove sbalgio? L'errore credo sia concettuale, già nel calcolo della funzione di verosimiglianza.
Siate magnanimi se ho scritto bestialate,è la prima volta che mi cimento in questo tipo di esercizi (quindi abbiate pietà di me).
Risposte
la verosimiglianza è già sbagliata perché hai 3 variabili $Y_1,Y_2,Y_3$ tutte normali indipendenti di varianza nota e media che dipende da due parametri.... quindi la logverosimiglianza sarà in funzione di due parametri ma di 3 variabili osservate...
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