Problema d'urna (legge geometrica)

[Fitzgalippo]

In un urna con 6 palline bianche si introducono N palline nere, dove N è un v.a. uniforme su {4,5,6}. Una volta inserite le palline si effettuano estrazioni con reinserimento fermandosi la prima volta, T, che si estrae una pallina nera. Calcolare la distribuzione di T e E(T).

Ho pensato a questo:

T è l'istante di primo successo in cui si estrae una pallina nera.
Quindi posso usare la legge geometrica:

$P(T=n-1)=N/(6+N)*(1-N/(6+N))^(n-1)$ con $N={4,5,6}$ è corretto?

ora come posso scrivere la distribuzione di T e l'eventuale valore atteso visto che dovrebbe essere $1/p$?

[clrscr]

Ciao...

Come dici (giustamente) quello che vuoi calcolare è $P[T=n]$.
Per arrivare a far ciò, possiamo condizionare sul numero delle possibili palline nere inserite, cioè:

$P[T=n]= sum_{i in {4.5.6}} P[T=n|N=i] * P[N=i]$

Ora, la prima parte è uguale a quella da te descritta, rimane solo da esprimere $P[N=i]$ che banalmente (essendo uniforme) sarà: $1/3$.

In conclusione si avrà:

$P[T=n]= sum_{i in {4.5.6}} (1- i/(6+i))^(n-1) * i/(6+i) * 1/3 $

Il risultato si calcola molto semplicemente essendo la somma composta solo per tre termini.