Problema di probabilità on principio di esclusione-inclusione
Salve a tutti,
Avrei bisogno di aiuto per risolvere un problema di probabilità probabilmente abbastanza basico.
Il testo dice:
In un gruppo di 7 persone, trovare la probabilità che tutte le 4 stagioni(inverno, primavera, estate, autunno) abbiano almeno un compleanno, assumendo che tutte ogni compleanno ha la stessa probabilità di cadere in ogni stagione.
(Esercizio preso da "Introduction to Probability" di Blitzstein)
Avevo pensato di risolvere questo esercizio col principio di esclusione-inclusione, ovvero definendo 4 eventi
Ai con i compreso tra 1 e 4, in cui ogni numero rappresenta una stagione, che rappresentano il fatto che un solo compleanno avvenga in quel determinato mese, tuttavia non riesco a trovare la probabilità di questi eventi Ai e, a dirla tutta, sono abbastanza sicuro che ci sia un approccio più semplice.
Grazie in anticipo per l'aiuto e buona serata.
Avrei bisogno di aiuto per risolvere un problema di probabilità probabilmente abbastanza basico.
Il testo dice:
In un gruppo di 7 persone, trovare la probabilità che tutte le 4 stagioni(inverno, primavera, estate, autunno) abbiano almeno un compleanno, assumendo che tutte ogni compleanno ha la stessa probabilità di cadere in ogni stagione.
(Esercizio preso da "Introduction to Probability" di Blitzstein)
Avevo pensato di risolvere questo esercizio col principio di esclusione-inclusione, ovvero definendo 4 eventi
Ai con i compreso tra 1 e 4, in cui ogni numero rappresenta una stagione, che rappresentano il fatto che un solo compleanno avvenga in quel determinato mese, tuttavia non riesco a trovare la probabilità di questi eventi Ai e, a dirla tutta, sono abbastanza sicuro che ci sia un approccio più semplice.
Grazie in anticipo per l'aiuto e buona serata.
Risposte
"Parlu10":
In un gruppo di 7 persone, trovare la probabilità che tutte le 4 stagioni(inverno, primavera, estate, autunno) abbiano almeno un compleanno, assumendo che tutte ogni compleanno ha la stessa probabilità di cadere in ogni stagione.
Io userei una catena di Markov, ma faccio tutto con le catene di Markov. Magari la soluzione "prevista" è diversa.
Scusami, colpa mia che non ho dato nemmeno un po' di contesto.
Quell'argomento non è nemmeno compreso nel mio programma di Probabilità e Statistica.
La soluzione dev'essere trovata usando la definizione "ingenua" di Probabilità (naive definition of probability), ovvero quella che dice che la probabilità è il rapporto tra i casi possibili e i casi favorevoli, e il principio di inclusione-esclusione. Si potrebbero usare anche gli assiomi della probabilità e le sue proprietà, oltre al principio di esclusione-inclusione, ma dubito che servano in questo esercizio.
Quell'argomento non è nemmeno compreso nel mio programma di Probabilità e Statistica.
La soluzione dev'essere trovata usando la definizione "ingenua" di Probabilità (naive definition of probability), ovvero quella che dice che la probabilità è il rapporto tra i casi possibili e i casi favorevoli, e il principio di inclusione-esclusione. Si potrebbero usare anche gli assiomi della probabilità e le sue proprietà, oltre al principio di esclusione-inclusione, ma dubito che servano in questo esercizio.
"Parlu10":
Scusami, colpa mia che non ho dato nemmeno un po' di contesto.
Quell'argomento non è nemmeno compreso nel mio programma di Probabilità e Statistica.
Vedo un capitolo sulle catene di Markov su Blitzstein (seconda edizione) ma ok.
Potresti usare inclusione-esclusione usando gli eventi "Non c'è alcun compleanno nella stagione $i$".
edit: Sì, sembra funzionare.
edit: Sì, sembra funzionare.
Credo di aver trovato la soluzione.
Le 7 persone possono anche essere viste come una parola di 7 lettere i cui caratteri sono presi dall'insieme {P,E,A,I} (le iniziali delle stagioni). Poi, col principio di inclusione-esclusione, si trova la probabilità cercata:
$ (4^7-( (4), (3) )3^7+( (4), (2) )2^7-4*1^7)/(4^7) = 0.51 $
in cui abbiamo preso le combinazioni totali, tolte quelle in cui c'è una stagione in meno, aggiunte quelle in cui si considerano solo due stagioni... eccetera, come asserito dal principio di inclusione ed esclusione
Grazie mille per l'aiuto!
Le 7 persone possono anche essere viste come una parola di 7 lettere i cui caratteri sono presi dall'insieme {P,E,A,I} (le iniziali delle stagioni). Poi, col principio di inclusione-esclusione, si trova la probabilità cercata:
$ (4^7-( (4), (3) )3^7+( (4), (2) )2^7-4*1^7)/(4^7) = 0.51 $
in cui abbiamo preso le combinazioni totali, tolte quelle in cui c'è una stagione in meno, aggiunte quelle in cui si considerano solo due stagioni... eccetera, come asserito dal principio di inclusione ed esclusione
Grazie mille per l'aiuto!
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