Problema di probabilità congiunta con distribuzione multivariabile

[simox2]

Un saluto a tutti

Ho un esercizio di probabilità congiunta (sto affrontando l'argomento da pochissimi giorni) e vorrei chiarire qualche eventuale dubbio.

Il testo del problema è semplicemente:

"Sia \(\displaystyle (X,Y) \) un vettore aleatorio con distribuzione di probabilità congiunta \(\displaystyle f_{xy}(x,y) = k(x+1)(y+1) \) con \(\displaystyle x,y = 0,1,2 \), calcolare le probabilità marginali."

Non viene specificata nessuna situazione in particolare.
Ricavo il valore di \(\displaystyle k \):

\(\displaystyle
\begin{aligned}
& f(x,y) = k(x + 1)(y + 1)= k(xy + x + y + 1)\\
& \sum_{x = 0}^{2}\sum_{y = 0}^2 k(xy + x + y + 1) = 1\\
& k \cdot \sum_{x = 0}^{2}\sum_{y = 0}^2 (xy + x + y + 1) = 1\\
& 36k = 1 \Rightarrow k = {1 \over 36}
\end{aligned}
\)

Ed ora passo al calcolo delle probabiltà marginali, sapendo che:

\(\displaystyle \begin{aligned}
& P(X = n) = \sum_{y = 0}^2P(X = n, Y = y)\\
& P(Y = n) = \sum_{x = 0}^2P(X = x, Y = n)\\
\end{aligned} \)

E fino a qui mi è tutto chiaro. Il mio dubbio è come esprimere numericamente ciascuna probabilità congiunta

\(\displaystyle P(X = x,Y = y)\quad x,y\in[0,1,2] \)

Il testo del problema non dà nessuna informazione su come la \(\displaystyle X \) influenzi il valore di \(\displaystyle Y \), ma mi dà solo la funzione di distribuzione \(\displaystyle f_{xy}(x,y) = k(x+1)(y+1) \) .

Ragionando, i valori possibili per ogni variabile sono:

\(\displaystyle S_x = S_y = [0,1,2] \)

ne deduco che ciascuna probabilità:

\(\displaystyle \begin{aligned}
P(X = x_n)\quad \forall x_n\in S_x = {1 \over 3}\\
P(X = y_n)\quad \forall y_n\in S_y = {1 \over 3}
\end{aligned} \)

Dal testo del problema, considerei che:

\(\displaystyle P(X = x_n,Y = y_n ) = P(X = x_n)\cdot P(Y = y_n) \quad x_n,y_n\in[0,1,2] \)

Dato che penso di non avere nessuna pista.

Mi farebbe piacere ricevere le vostre opinioni. Forse c'è qualche dettaglio che ho tralasciato..
Ringrazio in anticipo.

[simox2]

Ciao Sergio !

"Sergio":Una volta trovato \(k=1/36\), basta calcolare \((x+1)(y+1)/36\) per tutti i possibili valori delle due variabili costruendo la tabella ...

Ecco, questa è il punto di partenza in cui commetto l'errore ! Avevo intuito di dover relazionare i valori delle probabilità con la funzione di distribuzione ma non ero assolutamente convinto della mia deduzione.

Grazie infinite per avermi fatto aprire gli occhi.