PROBLEMA DI MODELLIZZAZIONE E PROBABILITà
Ciao ragazzi ..chiedo aiuto per un problema di probabilità(e modellizzazione)
TESTO:
Una sala giochi aperta H ore al giorno per G giorni al mese contiene N macchine e serve una popolazione di R ragazzi. Ogni ragazzo va alla sala giochi V volte al mese (in ore e giorni del tutto casuali)e se una macchina è libera gioca in media per M minuti .Altrimenti se ne va senza aspettare.
(H=10,G=22,N=5,R=300,V=3,M=40).Sapendo che la sala viene aperta alle 9.00 del mattino si dica a che ora l’occupazione delle macchine è praticamente a regime e qual è il numero medio di macchine contemporaneamente occupate a partire da tale ora fino alla chiusura.
Suggerimenti :
a)si indichi con xi(t), i=0,1,….,N la probabilità che all’istante t della giornata siano occupate i macchine (xi(t)>=0, $sum_(i=0)^N x i(t)=1$)
b)si indichi con (a dt) la probabilità che un ragazzo entri nella sala giochi tra l’istante t e l’istante t+dt e con (b dt) la probabilità che una macchina occupata all’istante t si liberi nell’intervallo [t, t+dt]. Indi si calcolino a e b a partire dai dati iniziali.
c)si esprima xi(t+dt) in funzione di a, b, dt, xi(t), x(i-1)(t), x(i+1)(t) e si faccia poi tendere a zero dt (attenzione ai casi i=0 e i=n).
d)si elimini la prima equazione di stato (x0=..) e la variabile x0 tenendo conto della relazione x0=1-$sum_(i=1)^N x i$.
Allora io non riesco a calcolare a calcolare le probabilità xi(t) , a dt , b dt.
Secondo me xi(t) deve essere ricavata come una poisson p(k)= (j^k)/k! * exp(-j) dove j=(V*M)/(G*H)…. Non ho altre idee.
Ho cercato di fare anche il punto c)
xi(t+dt) = x(i-1)(t)*[(1-bdt )^(i-1)]*adt + xi(t)*{(bdt*adt*[(1-bdt)^(i-1)] + (1-adt)*[(1-bdt)^i]}+ x(i+1)(t)*{bdt*(1-adt)*[(1-bdt)^i]}
raccogliendo viene:
xi(t+dt) = [(1-bdt )^(i-1)]*adt*[x(i-1)(t)+bdt*xi(t)] + (1-adt)*[(1-bdt)^i]*[xi(t)+bdt*x(i+1)]
Ho tenuto conto di tutti i casi ma mi sembra una formula un po’ troppo complessa…
Non so cos’altro fare …chiedo urgentemente aiuto. grazie mille.
TESTO:
Una sala giochi aperta H ore al giorno per G giorni al mese contiene N macchine e serve una popolazione di R ragazzi. Ogni ragazzo va alla sala giochi V volte al mese (in ore e giorni del tutto casuali)e se una macchina è libera gioca in media per M minuti .Altrimenti se ne va senza aspettare.
(H=10,G=22,N=5,R=300,V=3,M=40).Sapendo che la sala viene aperta alle 9.00 del mattino si dica a che ora l’occupazione delle macchine è praticamente a regime e qual è il numero medio di macchine contemporaneamente occupate a partire da tale ora fino alla chiusura.
Suggerimenti :
a)si indichi con xi(t), i=0,1,….,N la probabilità che all’istante t della giornata siano occupate i macchine (xi(t)>=0, $sum_(i=0)^N x i(t)=1$)
b)si indichi con (a dt) la probabilità che un ragazzo entri nella sala giochi tra l’istante t e l’istante t+dt e con (b dt) la probabilità che una macchina occupata all’istante t si liberi nell’intervallo [t, t+dt]. Indi si calcolino a e b a partire dai dati iniziali.
c)si esprima xi(t+dt) in funzione di a, b, dt, xi(t), x(i-1)(t), x(i+1)(t) e si faccia poi tendere a zero dt (attenzione ai casi i=0 e i=n).
d)si elimini la prima equazione di stato (x0=..) e la variabile x0 tenendo conto della relazione x0=1-$sum_(i=1)^N x i$.
Allora io non riesco a calcolare a calcolare le probabilità xi(t) , a dt , b dt.
Secondo me xi(t) deve essere ricavata come una poisson p(k)= (j^k)/k! * exp(-j) dove j=(V*M)/(G*H)…. Non ho altre idee.
Ho cercato di fare anche il punto c)
xi(t+dt) = x(i-1)(t)*[(1-bdt )^(i-1)]*adt + xi(t)*{(bdt*adt*[(1-bdt)^(i-1)] + (1-adt)*[(1-bdt)^i]}+ x(i+1)(t)*{bdt*(1-adt)*[(1-bdt)^i]}
raccogliendo viene:
xi(t+dt) = [(1-bdt )^(i-1)]*adt*[x(i-1)(t)+bdt*xi(t)] + (1-adt)*[(1-bdt)^i]*[xi(t)+bdt*x(i+1)]
Ho tenuto conto di tutti i casi ma mi sembra una formula un po’ troppo complessa…
Non so cos’altro fare …chiedo urgentemente aiuto. grazie mille.
Risposte
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6075
Purtroppo non si vede piu' l'immagine con il testo del problema... comunque e' lo stesso.
Purtroppo non si vede piu' l'immagine con il testo del problema... comunque e' lo stesso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo