Problema di estrazione senza reimmissione??
in uno scaffale di sono 10 libri..3 di matematica e 7 di fisica
quale è la probabilità che i 3 di matematica siano vicini??
io avevo pensato di risolverlo come problema di estrazione senza reimmissione..cioè estraggo il primo libro di matematica con probabilità $3/10$ poi il secondo con prob $2/9$ e infine l'ultimo $1/8$
però non viene il risultato giusto..dove sbaglio?
quale è la probabilità che i 3 di matematica siano vicini??
io avevo pensato di risolverlo come problema di estrazione senza reimmissione..cioè estraggo il primo libro di matematica con probabilità $3/10$ poi il secondo con prob $2/9$ e infine l'ultimo $1/8$
però non viene il risultato giusto..dove sbaglio?
Risposte
Io ti consiglierei di ragionare con rapporto tra casi favorevoli su possibili mediante le permutazioni.
I casi possibili è facile da trovare.
Per i favorevoli ragiona allo stesso modo pensando di avere 7 libri di fisica ed un blocco di libri di matematica.
I casi possibili è facile da trovare.
Per i favorevoli ragiona allo stesso modo pensando di avere 7 libri di fisica ed un blocco di libri di matematica.
Io avrei ragionato così:
il totale dei casi possibili è: $10!$ (ovvero le "permutazioni" dei 10 libri). Invece i casi favorevoli sono le permutazioni in cui 3 libri di matematica sono vicini.
Si tratta quindi di contare quanti sono i casi favorevoli. I $3$ libri di matematica si possono ordinare in $3!$ modi. A questo punto gli altri libri possono essere disposti
nei modi seguenti (tenendo fissi i $3$ di matematica):
$(0, 3, 7)$
$(1, 3, 6)$
$(2, 3, 5)$
$(3, 3, 4)$
$(4, 3, 3)$
$(5, 3, 2)$
$(6, 3, 1)$
$(7, 3, 0)$
Quindi permutando otteniamo come numero di casi favorevoli:
$3!*7!+3!*6!+2!*3!*5!+3!*3!*4!+4!*3!*3!+5!*3!*2!+6!*3!+7!*3!$ $=73728$
Quindi la probabilità richiesta è:
$P=\frac{73728}{10!}=\frac{32}{1575}=0.020$
il totale dei casi possibili è: $10!$ (ovvero le "permutazioni" dei 10 libri). Invece i casi favorevoli sono le permutazioni in cui 3 libri di matematica sono vicini.
Si tratta quindi di contare quanti sono i casi favorevoli. I $3$ libri di matematica si possono ordinare in $3!$ modi. A questo punto gli altri libri possono essere disposti
nei modi seguenti (tenendo fissi i $3$ di matematica):
$(0, 3, 7)$
$(1, 3, 6)$
$(2, 3, 5)$
$(3, 3, 4)$
$(4, 3, 3)$
$(5, 3, 2)$
$(6, 3, 1)$
$(7, 3, 0)$
Quindi permutando otteniamo come numero di casi favorevoli:
$3!*7!+3!*6!+2!*3!*5!+3!*3!*4!+4!*3!*3!+5!*3!*2!+6!*3!+7!*3!$ $=73728$
Quindi la probabilità richiesta è:
$P=\frac{73728}{10!}=\frac{32}{1575}=0.020$
Ciao Max; è bello che abbiamo scritto 2 cose nell'arco di 1 minuto.
Secondo me commetti un errore.
Prendi ad esempio $(2,3,5)$ se calcoli $2!\ 3!\ 5!$ non consideri che dei 5 libri a destra e i 2 a sinistra si possono scambiare.
Diciamo che questa sarebbe associata a 2 libri di mat 3 di fisica 5 di geometria (messi poi in ordine ovvero prima fisica poi mat ed ultima geometria, od in un altro comunque non random; per averle random dovresti poi moltiplicare per $3!$ ovvero le permutazioni dei 3 blocchi di materie).
A questo punto si capisce io a che soluzione sono giunto.
Che ne pensi?
Secondo me commetti un errore.
Prendi ad esempio $(2,3,5)$ se calcoli $2!\ 3!\ 5!$ non consideri che dei 5 libri a destra e i 2 a sinistra si possono scambiare.
Diciamo che questa sarebbe associata a 2 libri di mat 3 di fisica 5 di geometria (messi poi in ordine ovvero prima fisica poi mat ed ultima geometria, od in un altro comunque non random; per averle random dovresti poi moltiplicare per $3!$ ovvero le permutazioni dei 3 blocchi di materie).
A questo punto si capisce io a che soluzione sono giunto.
Che ne pensi?
@DajeForte
Quindi se non capisco male tu moltiplicheresti ancora tutto per $3!$?
Quindi se non capisco male tu moltiplicheresti ancora tutto per $3!$?
No, ogni addendo deve essere uguale a $3!\ 7!$
"DajeForte":
No, ogni addendo deve essere uguale a $3!\ 7!$
Quindi
$P=\frac{8*3!*7!}{10!}=1/15=0.067$?
Si $8!\ 3!$ perchè tu hai 8 elementi (i 7 libri di fisica ed il blocco dei tre di matematica); questi li permuti in $8!$ e poi permuti i 3 di matematica.
"DajeForte":
Si $8!\ 3!$ perchè tu hai 8 elementi (i 7 libri di fisica ed il blocco dei tre di matematica); questi li permuti in $8!$ e poi permuti i 3 di matematica.
Ora mi è chiaro.
confermo che il risultato è quello previsto cioè $6,66%$
Oppure ragioni così, senza passare direttamente per le permutazioni. Secondo me è
più semplice.
Consideri come se fosse stato chiesto di calcolare la prob. che i $3$ libri di mate fossero
messi al primo secondo e terzo posto il che ha chiaramente prob.
$(3/10)*(2/9)*(1/8)$
dopodiché basta considerare che esistono anche altri casi di disposizione senza buchi:
secondo terzo quarto;...;ottavo nono decimo.
Si vede facilmente che i casi sono $8$ ed ecco trovata la prob. richiesta:
$(3/10)*(2/9)*(1/8)*8=0,066..$
più semplice.
Consideri come se fosse stato chiesto di calcolare la prob. che i $3$ libri di mate fossero
messi al primo secondo e terzo posto il che ha chiaramente prob.
$(3/10)*(2/9)*(1/8)$
dopodiché basta considerare che esistono anche altri casi di disposizione senza buchi:
secondo terzo quarto;...;ottavo nono decimo.
Si vede facilmente che i casi sono $8$ ed ecco trovata la prob. richiesta:
$(3/10)*(2/9)*(1/8)*8=0,066..$
infatti mi ero accorto anche io che moltiplicando le probabilità delle prime due estrazioni veniva il risultato giusto ma non sono riuscito ad aggiungere il passaggio logico necessario ossia che i possibili casi sono 8
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