Problema di calcolo funzione di densità
Per prima cosa, un saluto a tutti e complimenti per sito e forum, davvero utili e ben gestiti.
Sono alcuni giorni che provo a venire a capo di questo problema di statistica non riuscendoci, provo quindi a sottoporlo a voi
La v.a. \(\displaystyle Y \) condizionatamente ad \(\displaystyle X = k \) ha distribuzione \(\displaystyle Bin ( k,\frac {1}{2}) \) ovvero
\(\displaystyle p_{Y |X} (h|k) = \binom {k}{h} \frac{1}{2^k} \)
La variabile aleatoria \(\displaystyle X \sim G(\frac{1}{2}) \), ovvero
\(\displaystyle p_{X} (k) = \frac{1}{2^k} \)
Calcolare la densità \(\displaystyle p_{y} (h) \)
Ho provato a risolverlo calcolando la marginale attraverso la formula
\(\displaystyle p_{y} (h) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} p_{Y |X} (h|k) p_{X} (k) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom {k}{h} \frac{1}{2^k} \frac{1}{2^k} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom {k}{h} \frac{1}{4^k} \), essendo \(\displaystyle k = 1,2,3,... \) i possibili valori di \(\displaystyle X \).
Sono riuscito a calcolare il valore \(\displaystyle p_{y} (0) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom {k}{0} \frac{1}{4^k} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^k} = \frac {1}{1-\frac{1}{4}} - 1 = \frac{1}{3} \)
Negli altri casi non riesco a trovare la somma della serie. Ho trovato in rete soluzioni che fanno riferimento a serie ipergeometriche che però non abbiamo trattato durante il corso. Qualcuno di voi ha qualche idea?
Grazie in anticipo
Sono alcuni giorni che provo a venire a capo di questo problema di statistica non riuscendoci, provo quindi a sottoporlo a voi
La v.a. \(\displaystyle Y \) condizionatamente ad \(\displaystyle X = k \) ha distribuzione \(\displaystyle Bin ( k,\frac {1}{2}) \) ovvero
\(\displaystyle p_{Y |X} (h|k) = \binom {k}{h} \frac{1}{2^k} \)
La variabile aleatoria \(\displaystyle X \sim G(\frac{1}{2}) \), ovvero
\(\displaystyle p_{X} (k) = \frac{1}{2^k} \)
Calcolare la densità \(\displaystyle p_{y} (h) \)
Ho provato a risolverlo calcolando la marginale attraverso la formula
\(\displaystyle p_{y} (h) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} p_{Y |X} (h|k) p_{X} (k) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom {k}{h} \frac{1}{2^k} \frac{1}{2^k} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom {k}{h} \frac{1}{4^k} \), essendo \(\displaystyle k = 1,2,3,... \) i possibili valori di \(\displaystyle X \).
Sono riuscito a calcolare il valore \(\displaystyle p_{y} (0) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom {k}{0} \frac{1}{4^k} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^k} = \frac {1}{1-\frac{1}{4}} - 1 = \frac{1}{3} \)
Negli altri casi non riesco a trovare la somma della serie. Ho trovato in rete soluzioni che fanno riferimento a serie ipergeometriche che però non abbiamo trattato durante il corso. Qualcuno di voi ha qualche idea?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao, benvenuto!
lo fornisce il testo questo risultato?
mi pare ok.
Se cerchi una formula chiusa direi proprio che è duretta con strumenti classici, con un software forse puoi approssimare ad una serie troncata, ma comunque non troverai una formula semplice (provando con wolfram comunque converge).
Forse passando per la cdf puoi vedere se trovi qualcos'altro, ma mi pare sia la stessa strada.
non penso ti riferisca alla "serie ipergeometrica" ma alla funzione ipergeometrica (ce ne sono più di una...). Per semplificare il tutto forse si può anche passare per le leggi gamma (v. il fattoriale), ma visto che siamo su v.a. discrete vedo solo complicanze, dipende da ciò che vuoi fare.
"rveronese":
\(\displaystyle p_{Y |X} (h|k) = \binom {k}{h} \frac{1}{2^k} \)
lo fornisce il testo questo risultato?
Ho provato a risolverlo calcolando la marginale attraverso la formula
\(\displaystyle p_{y} (h) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} p_{Y |X} (h|k) p_{X} (k) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom {k}{h} \frac{1}{2^k} \frac{1}{2^k} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom {k}{h} \frac{1}{4^k} \), essendo \(\displaystyle k = 1,2,3,... \) i possibili valori di \(\displaystyle X \).
mi pare ok.
Se cerchi una formula chiusa direi proprio che è duretta con strumenti classici, con un software forse puoi approssimare ad una serie troncata, ma comunque non troverai una formula semplice (provando con wolfram comunque converge).
Forse passando per la cdf puoi vedere se trovi qualcos'altro, ma mi pare sia la stessa strada.
Ho trovato in rete soluzioni che fanno riferimento a serie ipergeometriche che però non abbiamo trattato durante il corso.
non penso ti riferisca alla "serie ipergeometrica" ma alla funzione ipergeometrica (ce ne sono più di una...). Per semplificare il tutto forse si può anche passare per le leggi gamma (v. il fattoriale), ma visto che siamo su v.a. discrete vedo solo complicanze, dipende da ciò che vuoi fare.
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