Problema di calcolo delle probabilità..
Salve a tutti!
Non sono ne un esperto di matematica ne uno studente, ma solo un appassionato..
Un appassionato che oggi è tutto il giorno che cerca di scervellarsi su un problema di statistica senza cavare un ragno dal buco..
Probabilmente il problema sta nella mia inesperienza più che nella complessità del problema, spero in ogni caso che voi possiate aiutarmi.
Il problema può essere formulato così:
ci sono 2 contenitori entrambi con N oggetti diversi all'interno (tipo 1 pallina, 1 cubo, 1 piramide, per semplicità assumiamo che siano tutti equiprobabili). Gli oggetti sono gli stessi nei due contenitori.
Una persona pesca X volte dal contenitore di destra e Y volte dal contenitore di sinistra, ributtando ogni volta l'oggetto nel contenitore (quindi può pescare anche più volte lo stesso oggetto) ma segnandosi ogni volta quello che ha pescato.
Qual è la probabilità che tra tutti gli X oggetti pescati a destra e tutti gli Y oggetti pescati a sinistra non vi sia nessuna coppia uguale, cioè in altre parole qual è la probabilità che avend pescato X oggetti a destra, pescando Y volte a sinistra non peschi nessun oggetto uguale a quelli pescati a destra?
O vice versa, qual è la probabilità che peschi almeno una coppia uguale?
Assumendo che in uno dei due contenitori pesca solo 1 volta, e nell'altro X volte riesco a risolverlo, ma proprio non riesco a capire come determinare la probabilità che non formi nessuna coppia se pesca più volte da entrambi i contenitori..
Sperando che possiate aiutarmi.. grazie in anticipo!
Non sono ne un esperto di matematica ne uno studente, ma solo un appassionato..
Un appassionato che oggi è tutto il giorno che cerca di scervellarsi su un problema di statistica senza cavare un ragno dal buco..
Probabilmente il problema sta nella mia inesperienza più che nella complessità del problema, spero in ogni caso che voi possiate aiutarmi.
Il problema può essere formulato così:
ci sono 2 contenitori entrambi con N oggetti diversi all'interno (tipo 1 pallina, 1 cubo, 1 piramide, per semplicità assumiamo che siano tutti equiprobabili). Gli oggetti sono gli stessi nei due contenitori.
Una persona pesca X volte dal contenitore di destra e Y volte dal contenitore di sinistra, ributtando ogni volta l'oggetto nel contenitore (quindi può pescare anche più volte lo stesso oggetto) ma segnandosi ogni volta quello che ha pescato.
Qual è la probabilità che tra tutti gli X oggetti pescati a destra e tutti gli Y oggetti pescati a sinistra non vi sia nessuna coppia uguale, cioè in altre parole qual è la probabilità che avend pescato X oggetti a destra, pescando Y volte a sinistra non peschi nessun oggetto uguale a quelli pescati a destra?
O vice versa, qual è la probabilità che peschi almeno una coppia uguale?
Assumendo che in uno dei due contenitori pesca solo 1 volta, e nell'altro X volte riesco a risolverlo, ma proprio non riesco a capire come determinare la probabilità che non formi nessuna coppia se pesca più volte da entrambi i contenitori..
Sperando che possiate aiutarmi.. grazie in anticipo!
Risposte
"lama su":
Probabilmente il problema sta nella mia inesperienza più che nella complessità del problema, spero in ogni caso che voi possiate aiutarmi.
Non so se ti può rinfrancare ma io lo trovo abbastanza complesso.
Così per ridere vedo che sei molto attivo nel forum (1 messaggio all'anno). Scherzo ovviamente.
Veniamo al problema:
abbiamo due urne che chiamo $U_x$ e $U_y$ che contengono, ciascuna, $A_1,A_2,...,A_N$ oggetti distinti.
Effettuiamo $n_x$ estrazioni da $U_x$ e $n_y$ estrazioni da $U_y$, con reimmissione.
Vogliamo la probabilità che tra tutto quello estratto in una delle due urne non ci siano oggetti estratti nel'altra. Chiamiamo questo evento $D$.
La strada che ho percorso io non so se è la migliore (e soprattutto ancora da verificare che sia giusta);
introduco la variabile aleatoria $X$ che descrive il numero di oggetti distinti che ho estratto da $U_x$.
Questa variabile va da $1$ a $delta=min{n_x,N}$, questo perchè se faccio $n_x
La parte più complessa sta nel trovare le probabilità di questa variabile aleatoria (lo faremo dopo).
Partendo da questo ho che:
$P(D)=E[P(D|X)]=sum_(k=1)^delta P(D|X=k)\ P(X=k)$.
$P(D|X=k)$ è la probabilità dell'evento condizionata al fatto che ho estratto $k$ elementi distinti da $U_x$ e questa è uguale a $((N-k)/N)^(n_y)$;
prendi ad esempio $k=1$ vuol dire che hai estratto sempre lo stesso oggetto; allora dato questo la probabilità che non ci sia matching è $((N-1)/N)^(n_y)$ perchè posso scegliere tutti gli altri $N-1$ oggetti.
Per trovare $P(X=k)$ io ho ragionato con casi favorevoli su casi possibili:
i casi possibili sono $N^(n_x)$; per i casi favorevoli avremo una sequenza di $A_(j_1),A_(j_2),...,A_(j_k)$ oggetti che sono stati estratti almeno una volta.
Questi li puoi scegliere tra gli $N$ oggetti in $((N),(k))$ modi. Inoltre associamo agli oggetti estratti i numeri $n_1,n_2,...,n_k$ che rappresentano il numero di volte che l'oggetto è uscito.
Valgono i vincoli $n_i>=1$ (perchè almeno una volta è stato estratto) e $sum_(i=1)^k n_i=n_x$ (la somma delle estrazioni degli oggetti da il numero totale delle estrazioni). Definiamo ora con $S$ l'insieme di tutte le k-uple che soddisfano questi vincoli.
Ad esempio se poni $n_x=4$:
per $k=1$ ne hai una sola (4);
per $k=2$ ne hai 3 (3,1)(2,2)(1,3);
per $k=3$ ne hai 3 (2,1,1)(1,2,1)(1,1,2)
per $k=4$ ne hai 1 (1,1,1,1).
L'insieme $S$ dipende dunque sia da $n_x$ che però è fissa nel problema sia da $k$ che invece scorre da $1$ a $delta$.
Ora per ottenere i casi favorevoli devi moltiplicare $((N),(k))$ che ti fa scegliere i k oggetti per tutte le possibili permutazioni degli oggetti stessi; queste sono: $sum_(i in S) (n_x!)/(n_1!...n_k!)$.
Con alcune manipolazioni della generalizzazione del binomio di Newton si può ottenere che quella somma è uguale a:
$p(k)=k^(n_x)-\ ((k),(1))\ (k-1)^(n_x)+\ ((k),(2))\ (k-2)^(n_x)-...+\ (-1)^(k-1)((k),(k-1))$.
In questa maniera si arriva a $P(X=k)=(((N),(k))\ p(k))/(N^(n_x))$. Ovviamente hai che $sum_(i=1)^(delta)((N)(k))\ p(k)\ =\ N^(n_x)$ che ti dice che la somma delle probabilità fa $1$ (vedi magari si può ancora semplificare).
Bisogna fare qualche verifica io magari la farò domani-dopodomani, fallo anche te (e anche altri (consigli, correzzioni, altre soluzioni (magari più semplici) sono sempre ben accetti)).
Buonanotte.
"DajeForte":
Ora per ottenere i casi favorevoli devi moltiplicare $((N),(k))$ che ti fa scegliere i k oggetti per tutte le possibili permutazioni degli oggetti stessi; queste sono: $sum_(i in S) (n_x!)/(n_1!...n_k!)$.
Con alcune manipolazioni della generalizzazione del binomio di Newton si può ottenere che quella somma è uguale a:
$p(k)=k^(n_x)-\ ((k),(1))\ (k-1)^(n_x)+\ ((k),(2))\ (k-2)^(n_x)-...+\ (-1)^(k-1)((k),(k-1))$.
ma non si sarebbe dovuto ottenere da quella somma $k^{n_x}$? ossia sviluppando con la generalizzazione del binomio di Newton $(1+...+1)^{n_x}$ (dove i ... sono fatti $k$ volte)
Perchè l'insieme $S$ non contiene tute le k-uple ma solo quelle dove tutti gli elementi sono diversi da $0$.
"DajeForte":
Perchè l'insieme $S$ non contiene tute le k-uple ma solo quelle dove tutti gli elementi sono diversi da $0$.
ah..vero! allora mi spiegheresti nel dettaglio le manipolazioni da fare con la generalizzazione del binomio di Newton? tra l'altro mi ricordo che il mio professore di aritmetica aveva risolto un problema usando il principio di inclusione esclusione ed aveva ottenuto un risultato che mi ricorda molto quello che hai scritto tu ($p(k)=k^(n_x)-\ ((k),(1))\ (k-1)^(n_x)+\ ((k),(2))\ (k-2)^(n_x)-...+\ (-1)^(k-1)((k),(k-1))$.), però non mi ricordo assolutamente il problema... però può darsi che anche in questo caso si può usare il principio di inclusione esclusione
Prendi quello che io ho scritto nel'esempio $n_x=4$ e prendi ad esempio $k=3$.
Ora l'insieme $S$ è costituito da (2,1,1)(1,2,1)(1,1,2) questo perchè devi costruire le terne$(n_1,n_2,n_3)$ dove $n_i>=0$ e la somma dia $4$.
Se consideri tutte le terne (escludendo il primo vincolo) hai:
(4,0,0)(1,3,0)(0,2,2)
(3,1,0)(1,2,1)(0,1,3)
(3,0,1)(1,1,2)(0,0,4)
(2,2,0)(1,0,3)
(2,1,1)(0,4,0)
(2,0,2)(0,3,1)
Se fai il binomio su queste ottieni $3^4$;
noi ora vogliamo escludere quelle dove compare almeno un 0.
A questo punto osserviamo che ogni elemento della terna gioca lo stesso ruolo
a questo punto ne scegliamo uno dei tre e lo poniamo uguale a 0.
In questa maniera otteniamo sempre il binomio ma non più sulla terna ma sulla doppia ed il valore è $(3-1)^4$
Giocando un ruolo uguale questo va ripetuto per le $3$ $n_i$
Se però io lo levo a ciascuna in questa maniera levo due volte quando due sono uguali a 0
quindi devo sommare $(3-2)^4$ (perchè ne hai poste due uguale a 0) per le possibili combinazioni della scelta delle due variabili che abbiamo posto uguale a 0.
Questo è esattamente uguale alla struttura della legge delle probabilità totali
Ora l'insieme $S$ è costituito da (2,1,1)(1,2,1)(1,1,2) questo perchè devi costruire le terne$(n_1,n_2,n_3)$ dove $n_i>=0$ e la somma dia $4$.
Se consideri tutte le terne (escludendo il primo vincolo) hai:
(4,0,0)(1,3,0)(0,2,2)
(3,1,0)(1,2,1)(0,1,3)
(3,0,1)(1,1,2)(0,0,4)
(2,2,0)(1,0,3)
(2,1,1)(0,4,0)
(2,0,2)(0,3,1)
Se fai il binomio su queste ottieni $3^4$;
noi ora vogliamo escludere quelle dove compare almeno un 0.
A questo punto osserviamo che ogni elemento della terna gioca lo stesso ruolo
a questo punto ne scegliamo uno dei tre e lo poniamo uguale a 0.
In questa maniera otteniamo sempre il binomio ma non più sulla terna ma sulla doppia ed il valore è $(3-1)^4$
Giocando un ruolo uguale questo va ripetuto per le $3$ $n_i$
Se però io lo levo a ciascuna in questa maniera levo due volte quando due sono uguali a 0
quindi devo sommare $(3-2)^4$ (perchè ne hai poste due uguale a 0) per le possibili combinazioni della scelta delle due variabili che abbiamo posto uguale a 0.
Questo è esattamente uguale alla struttura della legge delle probabilità totali
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