Problema di calcolo delle probabilità
Innanzitutto buona serata!!
Ho qualche problema con il calcolo delle probabilità, presento perciò il seguente esercizio su cui nutro più di qualche dubbio.
Si lancino 3 dadi e si calcoli la probabilità dei seguenti eventi:
- A: esca almeno un numero minore di 3;
- B: il numero 6 esca più di 2 volte;
- C: esca più di una volta il numero 1 o esca più di una volta un numero pari.
Svolgimento:
Inizio con il trovare la cardinalità dello spazio campione, ovvero in questo caso l'insieme di triple contenenti i numeri da 1 a 6 relativi ai lanci dei trei dadi.
Ragionando trovo che [tex]\left | \Omega \right | = 6^3 = 216[/tex] ovvero il numero di disposizioni con ripetizione di 6 oggetti di classe 3.
Per l'evento A so che le uniche cifre minori di 3 sono 1 e 2. Per la teoria studaita su disposizioni e combinazioni semplici e con ripetizione ipotizzo che [tex]P(A) = \frac{2 \cdot 6^2}{216} = \frac{72}{216} = 0,333...[/tex], circa il 33,33%.
Per l'evento B trovo immediatamente che [tex]P(B) = \frac{1}{216} = 0,00463[/tex], essendo che l'unica tripla contenente più di due 6 è [tex](6,6,6)[/tex]...
Per l'evento C ho seri dubbi su come applicare quanto visto a rigurado di disposizioni e combinazioni.
Innanzitutto penso sia utile separare l'evento C in C1 e C2 con:
- C1: esce più di una volta il numero 1;
- C2: esce più di una volta un numero pari.
Da ciò, essendo incompatibili i due eventi, in quanto una tripla con due volte la cifra 1 non può avere più di un numero pari, segue che [tex]P({C}_{1} \cup {C}_{2}) = P({C}_{1}) + P({C}_{2})[/tex].
Ora per calcolare la probabilità di verificarsi di C1 faccio la seguente considerazione.
Le triple che contengono almeno due volte un 1 sono quelle che:
- hanno 1 in prima e seconda posizione;
- hanno 1 in prima e terza posizione;
- hanno 1 in seconda e terza posizione.
Rispettivamente queste sono 16, ovvero 6 per ognuna delle tre triple meno 2 triple rappresentanti l'uscita di (1,1,1), altrimenti contata 3 volte.
Da ciò la probabilità di uscita del numero 1 almeno 2 volte è [tex]P({C}_{1}) = \frac{16}{216}[/tex].
Ora per la probabilità dell'evento C2 ho che le triple contenenti alomeno 2 numeri pari sono della forma:
([2,4,6],[2,4,6],[1-6]),([2,4,6],[1-6],[2,4,6]) e ([1-6],[2,4,6],[2,4,6]).
Perciò vi saranno [tex]3 \cdot 3 \cdot 6[/tex] possibili triple del primo tipo, altrettante del secondo e del terzo.
Da ciò è necessario togliere due volte le triple della forma ([2,4,6],[2,4,6],[2,4,6]), ovvero le disposizioni con ripetizioni di 3 cifre di classe 3 che sono [tex]3^3 = 27[/tex].
Quindi ho che [tex]P({C}_{2}) = \frac{162 - 27}{216} = \frac{135}{216}[/tex]
Ottengo allora che [tex]P(C) = P({C}_{1} \cup {C}_{2}) = P({C}_{1}) + P({C}_{2}) = \frac{16}{216} + \frac{135}{216} = \frac{151}{216} = 0,6990...[/tex], circa il 70%.
Soprattutto sull'ultima punt ho più di una perplessità. Sto procedendo nel modo giusto?
Vi ringrazio in anticipo e buona serata.
Ho qualche problema con il calcolo delle probabilità, presento perciò il seguente esercizio su cui nutro più di qualche dubbio.
Si lancino 3 dadi e si calcoli la probabilità dei seguenti eventi:
- A: esca almeno un numero minore di 3;
- B: il numero 6 esca più di 2 volte;
- C: esca più di una volta il numero 1 o esca più di una volta un numero pari.
Svolgimento:
Inizio con il trovare la cardinalità dello spazio campione, ovvero in questo caso l'insieme di triple contenenti i numeri da 1 a 6 relativi ai lanci dei trei dadi.
Ragionando trovo che [tex]\left | \Omega \right | = 6^3 = 216[/tex] ovvero il numero di disposizioni con ripetizione di 6 oggetti di classe 3.
Per l'evento A so che le uniche cifre minori di 3 sono 1 e 2. Per la teoria studaita su disposizioni e combinazioni semplici e con ripetizione ipotizzo che [tex]P(A) = \frac{2 \cdot 6^2}{216} = \frac{72}{216} = 0,333...[/tex], circa il 33,33%.
Per l'evento B trovo immediatamente che [tex]P(B) = \frac{1}{216} = 0,00463[/tex], essendo che l'unica tripla contenente più di due 6 è [tex](6,6,6)[/tex]...
Per l'evento C ho seri dubbi su come applicare quanto visto a rigurado di disposizioni e combinazioni.
Innanzitutto penso sia utile separare l'evento C in C1 e C2 con:
- C1: esce più di una volta il numero 1;
- C2: esce più di una volta un numero pari.
Da ciò, essendo incompatibili i due eventi, in quanto una tripla con due volte la cifra 1 non può avere più di un numero pari, segue che [tex]P({C}_{1} \cup {C}_{2}) = P({C}_{1}) + P({C}_{2})[/tex].
Ora per calcolare la probabilità di verificarsi di C1 faccio la seguente considerazione.
Le triple che contengono almeno due volte un 1 sono quelle che:
- hanno 1 in prima e seconda posizione;
- hanno 1 in prima e terza posizione;
- hanno 1 in seconda e terza posizione.
Rispettivamente queste sono 16, ovvero 6 per ognuna delle tre triple meno 2 triple rappresentanti l'uscita di (1,1,1), altrimenti contata 3 volte.
Da ciò la probabilità di uscita del numero 1 almeno 2 volte è [tex]P({C}_{1}) = \frac{16}{216}[/tex].
Ora per la probabilità dell'evento C2 ho che le triple contenenti alomeno 2 numeri pari sono della forma:
([2,4,6],[2,4,6],[1-6]),([2,4,6],[1-6],[2,4,6]) e ([1-6],[2,4,6],[2,4,6]).
Perciò vi saranno [tex]3 \cdot 3 \cdot 6[/tex] possibili triple del primo tipo, altrettante del secondo e del terzo.
Da ciò è necessario togliere due volte le triple della forma ([2,4,6],[2,4,6],[2,4,6]), ovvero le disposizioni con ripetizioni di 3 cifre di classe 3 che sono [tex]3^3 = 27[/tex].
Quindi ho che [tex]P({C}_{2}) = \frac{162 - 27}{216} = \frac{135}{216}[/tex]
Ottengo allora che [tex]P(C) = P({C}_{1} \cup {C}_{2}) = P({C}_{1}) + P({C}_{2}) = \frac{16}{216} + \frac{135}{216} = \frac{151}{216} = 0,6990...[/tex], circa il 70%.
Soprattutto sull'ultima punt ho più di una perplessità. Sto procedendo nel modo giusto?
Vi ringrazio in anticipo e buona serata.
Risposte
Sul secondo punto la soluzione è corretta.
Sul primo invece non concordo con quello che hai scritto.
Se intendi che deve uscire un numero (uno solo) minore di 3 la probabilità è $2/6*4/6*4/6*3=4/9$
Se intendi che deve uscire almeno un numero minore di 3 la probabilità è $1-(4/6)^3=19/27$
La probabilità che il numero 1 esca più di una volta è, come hai detto tu, $16/216$
La probabilità che escano 3 numeri pari è $(3/6)^3=27/216$
La probabilità che escano 2 numeri pari ed 1 dispari è $(3/6)^3*3=81/216$
Pertanto la probabilità cercata è $16/216+27/216+81/216=124/216=31/54=0,574074=57,4074%$
Sul primo invece non concordo con quello che hai scritto.
Se intendi che deve uscire un numero (uno solo) minore di 3 la probabilità è $2/6*4/6*4/6*3=4/9$
Se intendi che deve uscire almeno un numero minore di 3 la probabilità è $1-(4/6)^3=19/27$
La probabilità che il numero 1 esca più di una volta è, come hai detto tu, $16/216$
La probabilità che escano 3 numeri pari è $(3/6)^3=27/216$
La probabilità che escano 2 numeri pari ed 1 dispari è $(3/6)^3*3=81/216$
Pertanto la probabilità cercata è $16/216+27/216+81/216=124/216=31/54=0,574074=57,4074%$
Innanzitutto ti ringrazio.
Per il primo punto hai ragione, nel senso che dovevo calcolare la probabilità che esca almeno una volta un numero minore di 3... oltre che sbagliato il calcolo anche il punto era scritto in maniera sbagliata(provvedo ad editare).
Non mi è chiaro perchè moltiplichi [tex]{(\frac{3}{6})}^{3} \cdot 3[/tex] quando devi calcolare la probabilità che escano 2 pari ed uno dispari, ipotizzo tu lo faccia perchè le triple sono tre ovvero ([2,4,6],[2,4,6],[1,3,5]),([2,4,6],[1,3,5],[2,4,6]) e ([1,3,5],[2,4,6],[2,4,6]). Giusto?
Ora posto altri 3 problemi su cui ho qualche dubbio.
1) Di una lotteria vengono venduti 1000 biglietti. Un acquirente ne acquista 2. Se i premi sono 3 qual'è la possibilità che l'acquirente vinca almeno un premio?
Svolgimento
Io ho ipotizzato che, chiamato A l'unico evento di cui si vuole sapere la probabilità di verificarsi, [tex]P(A) = \frac{2}{\binom{1000}{3}} = \frac{2 \cdot 997! \cdot 6}{1000!}[/tex]. Infatti è come se prendessi 3 biglietti per ogni estrazione, in realtà ne avviene poi solo una, e di questi io avessi [tex]\binom{2}{1} = 2[/tex] "casi favorevoli" alla vincita di almeno un premio.
2)Un'urna contiene 5 palline bianche, 4 nere e 10 rosse. Calcolare la probabilità che estraendo a caso 2 palline senza rimetterle nell'urna, almeno una sia rossa.
Svolgimento
A mio modo di vedere, analizzando il testo trovo subito che vi è un unico evento A: estrazione di almeno una pallina rossa.
Ora A se voglio calcolare P(A), ricalcando peraltro quanto fatto da te sopra per il caso dei dadi, ho che [tex]P(A) = 1 - P(\bar{A}) = P({A}_{1} \cap {A}_{2}) + P({A}_{1} \cap {A}_{1}) + P({A}_{2} \cap {A}_{1}) + P({A}_{2} \cap {A}_{2})[/tex].
Con rispettivamente:
- A1: esce una pallina bianca;
- A2: esce una pallina nera.
Ora calcolo le singole probabilità:
[tex]P({A}_{1} \cap {A}_{2}) = P({A}_{1} \|\ {A}_{2}) \cdot P({A}_{2}) = \frac{5}{18} \cdot \frac{4}{19}= \frac{20}{342}[/tex]
[tex]P({A}_{1} \cap {A}_{1}) = P({A}_{1} \|\ {A}_{1}) \cdot P({A}_{1}) = \frac{4}{18} \cdot \frac{5}{19} = \frac{20}{342}[/tex]
[tex]P({A}_{2} \cap {A}_{1}) = P({A}_{2} \|\ {A}_{1}) \cdot P({A}_{1}) = \frac{4}{18} \cdot \frac{5}{19} = \frac{20}{342}[/tex]
[tex]P({A}_{2} \cap {A}_{2}) = P({A}_{2} \|\ {A}_{2}) \cdot P({A}_{2}) = \frac{3}{18} \cdot \frac{4}{19} = \frac{12}{342}[/tex]
Quindi ottengo che [tex]1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{72}{342} = \frac{270}{342} = 0,7895[/tex] ovvero circa il 79%.
Unico problema è che l'eserciziaro che sto utilizzando fa il seguente calcolo:
[tex]P(A) = 1 - \frac{\binom{10}{2}}{\binom{19}{2}} = 1 - \frac{45}{171} = 0,73684[/tex], calcolo che peraltro non mi spiego...
3) Scegliendo casualmente 13 carte da gioco da un mazzo di 52 carte, determinare la probabilità che tra queste ci siano almeno 3 assi.
Anche qua il libro espone una sua soluzione con la quale non mi trovo(cito testualmente):
"La probabilità richiesta si ottiene come complemento della probabilità che nessuna delle carte sia un asso; quest'ultima a sua volta si ottiene rapportando il numero di scelte di 13 - 4 = 9 carte da 52 - 4 = 48 carte.
Pertanto la probabilità di trovare 3 assi tra le 13 carte estratte è apri a:
[tex]1 - \frac{\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}} = 1 - \frac{48! \cdot 13!}{52! \cdot 9!} = 0,99736[/tex]"
Ora chiedo cortesemente come posso interpretare tali metodi di calcolo? Non riesco a capire le cifre tirate in ballo ed il perchè delle stesse.
Grazie ancora ed a presto!!
Per il primo punto hai ragione, nel senso che dovevo calcolare la probabilità che esca almeno una volta un numero minore di 3... oltre che sbagliato il calcolo anche il punto era scritto in maniera sbagliata(provvedo ad editare).
Non mi è chiaro perchè moltiplichi [tex]{(\frac{3}{6})}^{3} \cdot 3[/tex] quando devi calcolare la probabilità che escano 2 pari ed uno dispari, ipotizzo tu lo faccia perchè le triple sono tre ovvero ([2,4,6],[2,4,6],[1,3,5]),([2,4,6],[1,3,5],[2,4,6]) e ([1,3,5],[2,4,6],[2,4,6]). Giusto?
Ora posto altri 3 problemi su cui ho qualche dubbio.
1) Di una lotteria vengono venduti 1000 biglietti. Un acquirente ne acquista 2. Se i premi sono 3 qual'è la possibilità che l'acquirente vinca almeno un premio?
Svolgimento
Io ho ipotizzato che, chiamato A l'unico evento di cui si vuole sapere la probabilità di verificarsi, [tex]P(A) = \frac{2}{\binom{1000}{3}} = \frac{2 \cdot 997! \cdot 6}{1000!}[/tex]. Infatti è come se prendessi 3 biglietti per ogni estrazione, in realtà ne avviene poi solo una, e di questi io avessi [tex]\binom{2}{1} = 2[/tex] "casi favorevoli" alla vincita di almeno un premio.
2)Un'urna contiene 5 palline bianche, 4 nere e 10 rosse. Calcolare la probabilità che estraendo a caso 2 palline senza rimetterle nell'urna, almeno una sia rossa.
Svolgimento
A mio modo di vedere, analizzando il testo trovo subito che vi è un unico evento A: estrazione di almeno una pallina rossa.
Ora A se voglio calcolare P(A), ricalcando peraltro quanto fatto da te sopra per il caso dei dadi, ho che [tex]P(A) = 1 - P(\bar{A}) = P({A}_{1} \cap {A}_{2}) + P({A}_{1} \cap {A}_{1}) + P({A}_{2} \cap {A}_{1}) + P({A}_{2} \cap {A}_{2})[/tex].
Con rispettivamente:
- A1: esce una pallina bianca;
- A2: esce una pallina nera.
Ora calcolo le singole probabilità:
[tex]P({A}_{1} \cap {A}_{2}) = P({A}_{1} \|\ {A}_{2}) \cdot P({A}_{2}) = \frac{5}{18} \cdot \frac{4}{19}= \frac{20}{342}[/tex]
[tex]P({A}_{1} \cap {A}_{1}) = P({A}_{1} \|\ {A}_{1}) \cdot P({A}_{1}) = \frac{4}{18} \cdot \frac{5}{19} = \frac{20}{342}[/tex]
[tex]P({A}_{2} \cap {A}_{1}) = P({A}_{2} \|\ {A}_{1}) \cdot P({A}_{1}) = \frac{4}{18} \cdot \frac{5}{19} = \frac{20}{342}[/tex]
[tex]P({A}_{2} \cap {A}_{2}) = P({A}_{2} \|\ {A}_{2}) \cdot P({A}_{2}) = \frac{3}{18} \cdot \frac{4}{19} = \frac{12}{342}[/tex]
Quindi ottengo che [tex]1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{72}{342} = \frac{270}{342} = 0,7895[/tex] ovvero circa il 79%.
Unico problema è che l'eserciziaro che sto utilizzando fa il seguente calcolo:
[tex]P(A) = 1 - \frac{\binom{10}{2}}{\binom{19}{2}} = 1 - \frac{45}{171} = 0,73684[/tex], calcolo che peraltro non mi spiego...
3) Scegliendo casualmente 13 carte da gioco da un mazzo di 52 carte, determinare la probabilità che tra queste ci siano almeno 3 assi.
Anche qua il libro espone una sua soluzione con la quale non mi trovo(cito testualmente):
"La probabilità richiesta si ottiene come complemento della probabilità che nessuna delle carte sia un asso; quest'ultima a sua volta si ottiene rapportando il numero di scelte di 13 - 4 = 9 carte da 52 - 4 = 48 carte.
Pertanto la probabilità di trovare 3 assi tra le 13 carte estratte è apri a:
[tex]1 - \frac{\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}} = 1 - \frac{48! \cdot 13!}{52! \cdot 9!} = 0,99736[/tex]"
Ora chiedo cortesemente come posso interpretare tali metodi di calcolo? Non riesco a capire le cifre tirate in ballo ed il perchè delle stesse.
Grazie ancora ed a presto!!
Si è come dici tu.
Le possibilità sono 3: PPD - PDP- DPP.
Per quanto riguarda i nuovi esercizi:
1) $1-998/1000*997/999*996/998$ o se preferisci $1-(998!*997!)/(995!*1000!)$
2) era più semplice fare $1-9/19*8/18=30/38=78,95%$
Per il 3 ci penso.
Le possibilità sono 3: PPD - PDP- DPP.
Per quanto riguarda i nuovi esercizi:
1) $1-998/1000*997/999*996/998$ o se preferisci $1-(998!*997!)/(995!*1000!)$
2) era più semplice fare $1-9/19*8/18=30/38=78,95%$
Per il 3 ci penso.
$(48!*13!)/(52!*9!)$ è la probabilità di trovare 4 assi estraendo 13 carte.
1 meno quella roba lì, è la probabilità di NON trovare 4 assi. Possono perciò essere 0,1,2,3.
Visto che la probabilità di trovare 4 assi l'abbiamo trovata, cerchiamo adesso la probabilità di trovare 3 assi. Che dovrebbe essere $(4!*39!*48!*13!)/(52!*38!*10!*3!)$ Se a questa aggiungi la probabilità di trovare 4 assi, ottieni la probabilità di trovare almeno 3 assi.
1 meno quella roba lì, è la probabilità di NON trovare 4 assi. Possono perciò essere 0,1,2,3.
Visto che la probabilità di trovare 4 assi l'abbiamo trovata, cerchiamo adesso la probabilità di trovare 3 assi. Che dovrebbe essere $(4!*39!*48!*13!)/(52!*38!*10!*3!)$ Se a questa aggiungi la probabilità di trovare 4 assi, ottieni la probabilità di trovare almeno 3 assi.
Ti ringrazio delle soluzioni.
1) Non riesco a capire come ci arrivi della serie che non capisco cosa complementi dato che l'acquirente ha 2 biglietti ed i premi sono 3 su 1000 biglietti venduti.
2) Ok, ma è giusto il mio, e quindi il tuo, o quello dell'eserciziario?
3) Non mi è chiaro, o meglio mi è chiara la soluzione finale ma non mi è chiaro se l'eserciziario sbaglia e soprattutto perchè entrano in gioco quelle differenze che lui considera e che ho messo nel messaggio precedente(che portano a trovare [tex]\frac{\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}}[/tex]), e poi come trovi la probabilità di trovare 3 assi.
Grazie mille ancora!!
1) Non riesco a capire come ci arrivi della serie che non capisco cosa complementi dato che l'acquirente ha 2 biglietti ed i premi sono 3 su 1000 biglietti venduti.
2) Ok, ma è giusto il mio, e quindi il tuo, o quello dell'eserciziario?
3) Non mi è chiaro, o meglio mi è chiara la soluzione finale ma non mi è chiaro se l'eserciziario sbaglia e soprattutto perchè entrano in gioco quelle differenze che lui considera e che ho messo nel messaggio precedente(che portano a trovare [tex]\frac{\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}}[/tex]), e poi come trovi la probabilità di trovare 3 assi.
Grazie mille ancora!!
1) Per trovare la probabilità di vincere ALMENO un premio dobbiamo trovare la probabilità di NON vincere alcun premio, e poi fare il complemento ad 1.
Se io ho 2 biglietti, la probabilità di non vincere il primo premio è $998/1000$, quella di non vincere il secondo premio è $997/999$, e quella di non vincere il terzo premio è $996/998$. Moltiplicandole tra loro, trovo la probabilità di vincere NESSUN premio. E facendo il complemento ad 1, trovo la probabilità di vincere ALMENO 1 premio. Potrebbero essere anche 2. 3 non è possibile, perchè ho solo 2 biglietti....
2)Quello dell'eserciziario è sbagliato. Sono giusti sia il mio che il tuo. Ma il mio è più semplice...
Se io ho 2 biglietti, la probabilità di non vincere il primo premio è $998/1000$, quella di non vincere il secondo premio è $997/999$, e quella di non vincere il terzo premio è $996/998$. Moltiplicandole tra loro, trovo la probabilità di vincere NESSUN premio. E facendo il complemento ad 1, trovo la probabilità di vincere ALMENO 1 premio. Potrebbero essere anche 2. 3 non è possibile, perchè ho solo 2 biglietti....
2)Quello dell'eserciziario è sbagliato. Sono giusti sia il mio che il tuo. Ma il mio è più semplice...
3) La probabilità di trovare 3 assi è:
$4/52*3/51*2/50*48/49*47/48*46/47*45/46*44/45*43/44*42/43*41/42*40/41*39/40*(13*12*11)/(3*2)$
$4/52*3/51*2/50*48/49*47/48*46/47*45/46*44/45*43/44*42/43*41/42*40/41*39/40*(13*12*11)/(3*2)$
Grazie mille ancora.
Ultime due domande:
- allora anche la risoluzione del terzo esercizio del mio eserciziario è sbagliata?
- perchè alla fine dopo aver contato effettivamente la probabilità di trovare ogni singola carta moltiplichi il tutto per $(13*12*11)/(3*2) $?
Ultime due domande:
- allora anche la risoluzione del terzo esercizio del mio eserciziario è sbagliata?
- perchè alla fine dopo aver contato effettivamente la probabilità di trovare ogni singola carta moltiplichi il tutto per $(13*12*11)/(3*2) $?
"Howard_Wolowitz":
- perchè alla fine dopo aver contato effettivamente la probabilità di trovare ogni singola carta moltiplichi il tutto per $(13*12*11)/(3*2) $?
il primo pezzo della formula è la p. che i 3 assi siano nelle prime 3 posizioni, e le altre 10 non assi.
In realtà i 3 assi possono essere distribuiti in qualsiasi delle 13 posizioni disponibili: $((13),(3))$
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