Problema di calcolo combinatorio
Ciao a tutti, ho difficoltà nel capire come risolvere questo problema di calcolo combinatorio che mi è stato dato.
Non ho la soluzione quindi non sono sicura che sia corretto e chiedo aiuto a voi per un parere/consiglio.
Ecco il testo e la mia risoluzione.
Ho un gruppo di 10 persone composto da 5 uomini e 5 donne, tutti disposti a coppie, quindi ho $ UDUDUDUDUD $ .
Ora, il testo mi dice ''estraggo una coppia alla volta, la faccio uscire dalla stanza e subito riporto il numero delle persone a 10, introducendo un'altra coppia che può essere composta in modo equiprobabile e indipendentemente da uomo o donna. Con quale probabilità dopo 1000 volte che faccio la scelta avrò tutti uomini nella stanza?
Dunque.. io ho iniziato a pensare così:
ogni volta che faccio entrare una nuova coppia, posso avere UD, DU, UU, DD. Quindi ogni scelta vedere la disposizione con ripetizione di due elementi in classe due, ergo ho $ 2^2=4 $ di scegliere la nuova coppia entrante.
Dopo che faccio questa cosa per 5 volte ho il mio nuovo ''vettore'' (mi immagino l'insieme delle 10 persone come un vettore) tutto cambiato e tutto fatto di nuove coppie riestratte a questa maniera.
Quindi per ogni ''nuovo vettore'' ho $ \frac{10!}{2^5 5!} $ modi di scegliere le componenti.
Questa cosa la devo moltiplicare per 200 ( ovvero per il numero di volte che ricambio da capo tutto il mio vettore)?? Boh io ho moltiplicato per 200...
Comunque, questi sarebbero i casi totali.
Per trattare i casi favorevoli, devo considerare i casi in cui ho $ UUUUUUUUUU $
Ovvero ho $ 10! $ modi combinare i 10 uomini a meno dell'ordine delle coppie... quindi $ (10!)/(5!) $
In sostanza
$ \frac{\frac{10!}{5!}}{ \frac{10!200}{2^5 5!}} $
$ \frac{30240}{189000} $ = 0.16
Secondo voi ha senso....??? Io ho parecchi dubbi...
Mi aiutereste?
Grazie
Non ho la soluzione quindi non sono sicura che sia corretto e chiedo aiuto a voi per un parere/consiglio.
Ecco il testo e la mia risoluzione.
Ho un gruppo di 10 persone composto da 5 uomini e 5 donne, tutti disposti a coppie, quindi ho $ UDUDUDUDUD $ .
Ora, il testo mi dice ''estraggo una coppia alla volta, la faccio uscire dalla stanza e subito riporto il numero delle persone a 10, introducendo un'altra coppia che può essere composta in modo equiprobabile e indipendentemente da uomo o donna. Con quale probabilità dopo 1000 volte che faccio la scelta avrò tutti uomini nella stanza?
Dunque.. io ho iniziato a pensare così:
ogni volta che faccio entrare una nuova coppia, posso avere UD, DU, UU, DD. Quindi ogni scelta vedere la disposizione con ripetizione di due elementi in classe due, ergo ho $ 2^2=4 $ di scegliere la nuova coppia entrante.
Dopo che faccio questa cosa per 5 volte ho il mio nuovo ''vettore'' (mi immagino l'insieme delle 10 persone come un vettore) tutto cambiato e tutto fatto di nuove coppie riestratte a questa maniera.
Quindi per ogni ''nuovo vettore'' ho $ \frac{10!}{2^5 5!} $ modi di scegliere le componenti.
Questa cosa la devo moltiplicare per 200 ( ovvero per il numero di volte che ricambio da capo tutto il mio vettore)?? Boh io ho moltiplicato per 200...
Comunque, questi sarebbero i casi totali.
Per trattare i casi favorevoli, devo considerare i casi in cui ho $ UUUUUUUUUU $
Ovvero ho $ 10! $ modi combinare i 10 uomini a meno dell'ordine delle coppie... quindi $ (10!)/(5!) $
In sostanza
$ \frac{\frac{10!}{5!}}{ \frac{10!200}{2^5 5!}} $
$ \frac{30240}{189000} $ = 0.16
Secondo voi ha senso....??? Io ho parecchi dubbi...
Mi aiutereste?
Grazie
Risposte
"Nattramn16":
Io ho parecchi dubbi...
E fai bene
In realtà il problema è molto più semplice. Se tutte le coppie sono state sorteggiate almeno una volta, la probabilità di ritrovarsi con tutti uomini è $ p=(1/4)^5=1/1024 $. Quel che conta è solo ciò che è avvenuto l'ultima volta che la coppia è stata sostituita.
Ad essere pignolissimi bisognerebbe ridurre ancora questo valore, considerando la possibilità che almeno una coppia, alla fine dei $ 1000 $ sorteggi sia ancora quella originale. La probabilità che questo avvenga è però talmente piccola (dell'ordine di $ 10^{-96) $) da poterla trascurare.
Ciao
guarda... avevo pensato che fosse una gran cretinata 
però... ti viene sempre il dubbio quando 1) è una traccia d'esame e 2)no dai...era in seguito a un quesito stra-antipatico!
Grazie mille e pardon la domanda sciocca
però... ti viene sempre il dubbio quando 1) è una traccia d'esame e 2)no dai...era in seguito a un quesito stra-antipatico!Grazie mille e pardon la domanda sciocca
"Nattramn16":
Grazie mille e pardon la domanda sciocca
Di nulla. Penso che in una prova d'esame un quesito di questo tipo avrebbe un esito disastroso (per i candidati).
Ciao
C'è una cosa che non mi è chiara: quando si dice"....estraggo una coppia alla volta....", cosa si intende?
Coppia vuol dire un uomo e una donna, o due persone qualsiasi (anche dello stesso sesso)?
E in quest'ultimo caso, anche la "prima" coppia sorteggiata potrebbe essere composta da individui dello stesso sesso?
Coppia vuol dire un uomo e una donna, o due persone qualsiasi (anche dello stesso sesso)?
E in quest'ultimo caso, anche la "prima" coppia sorteggiata potrebbe essere composta da individui dello stesso sesso?
@superpippone:
ho interpretato nel senso che le 'coppie' all'interno della camera vengano sostituite in quanto tali; mantenendo la loro etichetta di coppia $ a, b, c, d, e $. In questo caso solo le coppie iniziali sono sicuramente del tipo donna-uomo.
Altra interpretazione possibile: la oppia da sostituire viene scelta sorteggiando due persone a caso nella stanza. Il risultato in questo caso resta il medesimo di prima; aumenta solo (passa a circa $ 10^(-45) $ la probabilità di avere, alla fine, ancora almeno una donna che non è mai stata sostituita.
Con l'interpretazione che prevede il sorteggio (quando possibile) di una coppia donna-uomo, il problema cambia completamente.
La probabilità di riuscire ad operare $1000$ sostituzioni è piccola: dalle parti di $1/100000 $, perché, già dalla sesta sostituzione, può risultare impossibile proseguire a causa della presenza di sole donne o soli uomini. Visto che nel testo non si parla di come comportarsi in questa eventualità, non ho preso in considerazione questa ipotesi. La soluzione sarebbe calcolabile utilizzando le catene di Markov, ma anche a spanne risulterebbe poco meno di $1/2 $.
Ciao
ho interpretato nel senso che le 'coppie' all'interno della camera vengano sostituite in quanto tali; mantenendo la loro etichetta di coppia $ a, b, c, d, e $. In questo caso solo le coppie iniziali sono sicuramente del tipo donna-uomo.
Altra interpretazione possibile: la oppia da sostituire viene scelta sorteggiando due persone a caso nella stanza. Il risultato in questo caso resta il medesimo di prima; aumenta solo (passa a circa $ 10^(-45) $ la probabilità di avere, alla fine, ancora almeno una donna che non è mai stata sostituita.
Con l'interpretazione che prevede il sorteggio (quando possibile) di una coppia donna-uomo, il problema cambia completamente.
La probabilità di riuscire ad operare $1000$ sostituzioni è piccola: dalle parti di $1/100000 $, perché, già dalla sesta sostituzione, può risultare impossibile proseguire a causa della presenza di sole donne o soli uomini. Visto che nel testo non si parla di come comportarsi in questa eventualità, non ho preso in considerazione questa ipotesi. La soluzione sarebbe calcolabile utilizzando le catene di Markov, ma anche a spanne risulterebbe poco meno di $1/2 $.
Ciao
orsoulx:
Nel week-end ci ho pensato un po'.
Ho "afferrato" la faccenda delle coppie, e convengo con la tua soluzione.
Saluti.
Luciano
Nel week-end ci ho pensato un po'.
Ho "afferrato" la faccenda delle coppie, e convengo con la tua soluzione.
Saluti.
Luciano
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