Problema dell'incontro
Tizio e Caio devono incontrarsi in un luogo prestabilito, entrambi possono presentarsi sul luogo in un tempo compreso tra [0,T]
Qual è la probaiblità che arrivino nello stesso istante?
Ho modellato lo spazio campione come un quadrato [0,T]x[0,T]. Se x e y sono gli istanti d'arrivo rispettivamente di Tizio e di Caio l'evento secondo il quale entrambi arrivino nello stesso istante è la retta x = y. Deduco che la probaiblità dell'evento in questione è la misura della diagonale del quadrato diviso la misura dello spazio campione, insomma la lunghezza della retta diviso l'area del quadrato, anche se non ne sono convinto, mi trovo $sqrt(2)/T$.
Potreste dirmi se il mio ragionamento è corretto? Inoltre se è questo il risultato, il valore della probabilità cambia in base a T, ma come ragiono se T sono secondi, minuti, ore ecc? Non riesco a convincermi di essere in effetti svincolato dalle unità di misura del tempo.
Altro problema, devo calcolare anche qual è la probabilità che il primo debba aspettare il secondo per più di dieci minuti, ma immagino che sia più complicato, mi indichereste la strada?
Grazie a tutti in anticipo.
Qual è la probaiblità che arrivino nello stesso istante?
Ho modellato lo spazio campione come un quadrato [0,T]x[0,T]. Se x e y sono gli istanti d'arrivo rispettivamente di Tizio e di Caio l'evento secondo il quale entrambi arrivino nello stesso istante è la retta x = y. Deduco che la probaiblità dell'evento in questione è la misura della diagonale del quadrato diviso la misura dello spazio campione, insomma la lunghezza della retta diviso l'area del quadrato, anche se non ne sono convinto, mi trovo $sqrt(2)/T$.
Potreste dirmi se il mio ragionamento è corretto? Inoltre se è questo il risultato, il valore della probabilità cambia in base a T, ma come ragiono se T sono secondi, minuti, ore ecc? Non riesco a convincermi di essere in effetti svincolato dalle unità di misura del tempo.
Altro problema, devo calcolare anche qual è la probabilità che il primo debba aspettare il secondo per più di dieci minuti, ma immagino che sia più complicato, mi indichereste la strada?
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Butto giù qualche idea...
Se le due v.a. $X, Y$ "tempi di arrivo" hanno valori in $[0,T]$ (secondi\minuti) e sono indipendenti con densità $f = 1$, allora
\[ P( (X,Y) \in \text{diag}(Q) ) = \int \int_{\text{diag}(Q)} 1 \text{d} x \text{d} y = 0\]
siccome la diagonale ha dimensione $1$ nello spazio prodotto.
Se invece le due v.a. $X, Y$ sono discrete, per esempio $X, Y \in \{ 0 , 1 , 2 , 3 , ... , T \}$ (secondi\minuti), la situazione cambia. Infatti quella probabilità non è $0$.
Se le due v.a. $X, Y$ "tempi di arrivo" hanno valori in $[0,T]$ (secondi\minuti) e sono indipendenti con densità $f = 1$, allora
\[ P( (X,Y) \in \text{diag}(Q) ) = \int \int_{\text{diag}(Q)} 1 \text{d} x \text{d} y = 0\]
siccome la diagonale ha dimensione $1$ nello spazio prodotto.
Se invece le due v.a. $X, Y$ sono discrete, per esempio $X, Y \in \{ 0 , 1 , 2 , 3 , ... , T \}$ (secondi\minuti), la situazione cambia. Infatti quella probabilità non è $0$.
Ma sei sicuro sia zero? Perché io non credo sia perfettamente improbabile (o impossibile) che arrivino nello stesso istante
EDIT: riflettendoci dire che la probabilità è nulla non rende l'evento impossibile, quindi forse hai ragione
EDIT: riflettendoci dire che la probabilità è nulla non rende l'evento impossibile, quindi forse hai ragione
Davanti all'integrale ho dimenticato il fattore di normalizzazione $1/(\text{area}(Q))$.
Comunque non puoi ragionare in termini di misure unidimensionali. Nello spazio $[0,1] \times [0,1]$ l'area della diagonale è nulla. Il motivo di ciò è che stai lavorando con v.a. non discrete.
Comunque non puoi ragionare in termini di misure unidimensionali. Nello spazio $[0,1] \times [0,1]$ l'area della diagonale è nulla. Il motivo di ciò è che stai lavorando con v.a. non discrete.
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