Problema della disposizione intorno ad un tavolo rotondo

[menale1]

Cari amici matematici , avrei un problemino di calcolo combinatorio da proporvi :
Si devono disporre ad un tavolo tondo 9 bambini , 6 femminucce e 3 maschietti . IN quanti modi lo si può fare in modo che i tre maschietti risultino a due a due separati da qualche femminuccia ?
Io applicherei le permnutazioni con ripetizioni , facendo ruotare i posti dei tre maschietti .
Vi ringrazio in anticipo per la collaborazione , che spero numerosa

[icklazza]

Suppongo che dato il tavolo rotondo non ci sia un posto 1 e un posto 9

FF M FF M FF M

I maschi posso disporli in 3 x 2 modi, cioè 6

Le femmine in 6!...

Io a questo punto farei 6! x 6...

[xXStephXx]

Le rotazioni vanno contate? In caso negativo dividi per $3$.

[cenzo1]

Nel caso di posti numerati, su $9! =362880$ possibili disposizioni mi risultano $233280$ disposizioni che soddisfano la richiesta.

Tra due maschi possono esserci una o due o tre o quattro femmine (almeno una femmina per ogni coppia di maschi).

[Umby2]

"cenzo":
.... mi risultano $233280$ disposizioni che soddisfano la richiesta.

ma hai considerato che la posizione 1 con la 9 sono adiacenti?

Io ho trovato 30 posizioni diverse per disporre i 3 bambini.
Per ognuna delle 30 posso scambiare i bambini in $3!$ modi, e le bambine in $6!$ modi.

Quindi: 30x6x720 = 129.600

S.E.& O.

[cenzo1]

"Umby":[quote="cenzo"]
.... mi risultano $233280$ disposizioni che soddisfano la richiesta.

Quindi: 30x6x720 = 129.600[/quote]
Chiedo scusa, per errore ho riportato le disposizioni che non soddisfano la richiesta.
Quindi $362880-233280=129600$

Thanks Umby!

[icklazza]

Scusate ma io non capisco che logica state seguendo. Il 9 fattoriale non tiene conto della richiesta cioè che i bambini siano separati tra di loro da due femmine. Se contano i posti non basta fare 6! * 3! * 9=38880?, se invece conta solo i vicini, allora basta 6! * 3!

[Rggb1]

"icklazza":Scusate ma io non capisco che logica state seguendo. Il 9 fattoriale non tiene conto della richiesta cioè che i bambini siano separati tra di loro da due femmine.

La richiesta è che siano separati, quindi fra due maschietti c'è almeno una femminuccia, quindi una, due, tre o addirittura quattro:
MFMFMFFFF
MFMFFMFFF
MFMFFFMFF
...

[icklazza]

Ah ok pensavo solo M FF M FF M FF

[Umby2]

"cenzo":

Thanks Umby!

Prego. (Non avevo notato che avevi semplicemente opposto il risultato).

Complichiamo un po' il problema:
Il giorno dopo arriva una altra bambina, ci sono quindi 3M e 7F.
ed il giorno dopo, ancora una bambina, quindi 3M e 8F .... e cosi via (una bambina in più al giorno).

Dopo N giorni, in quanti modi posso disporre i bambini? (sempre alla condizione iniziale che non ce ne siano 2 adiacenti).

[Umby2]

"icklazza":
Se contano i posti non basta fare 6! * 3! * 9=38880?, se invece conta solo i vicini, allora basta 6! * 3!

Attento che se consideri [MFFMFFMFF] il "passo" è di 3.

[Umby2]

"Umby":

Dopo N giorni, in quanti modi posso disporre i bambini? (sempre alla condizione iniziale che non ce ne siano 2 adiacenti).

sono stato troppo "cattivo" ?

[cenzo1]

"Umby":Dopo N giorni, in quanti modi posso disporre i bambini? (sempre alla condizione iniziale che non ce ne siano 2 adiacenti).

Generalizziamo un altro po'

Diciamo $m$ il numero di maschi ed $f$ il numero di femmine (naturalmente $f>=m$).
Sempre alle stesse condizioni, ho trovato queste possibili disposizioni:

$(f+m)*(f-1)!*D_{f,m}$ (ho indicato con $D_{f,m}$ le disposizioni semplici di $f$ elementi presi $m$ alla volta).

Sottopongo per verifica, con le dovute riserve.

[Umby2]

"cenzo":
Generalizziamo un altro po'

Che fai rilanci ?

CIP.

[cenzo1]

"Umby":[quote="cenzo"]Generalizziamo un altro po'

Che fai rilanci ? CIP.[/quote]
[OT]
Perdonami: una frase da leggere con simpatica ironia.
Tra l'altro, non so giocare (e non gioco) a poker o alle sue varianti.
[/OT]

Tornando in topic, la formula l'ho trovata basandomi su dati numerici (grazie R! ) e non so darne una giustificazione logica.
(non ci ho ancora provato)

Quindi si potrebbe dire che ho in mano un bluff ?

[Umby2]

"cenzo":

Quindi si potrebbe dire che ho in mano un bluff ?

no ... no ....

mi hai solo anticipato il mio prossimo step.

anzi, ora ti posto la mia formuletta (la stavo confrontando con la tua per vedere se raggiungiamo lo stesso risultato). Quella che ho, avevo fissato i 3M e variabilizzato le F.

Ora la inserisco, così verifichi anche te, se va bene...

[Umby2]

Diciamo che mi sono preoccupato di conoscere le combinazioni dei bimbi, questo dato moltiplicato per $f!$ ci da il risultato.

Con f ho indicato le bimbe, la riga 6 (in rosso) è quella del nostro quesito. Infatti 180 * 720 = 129.600

Ho confrontato la tua soluzione con la mia, sembra che portino lo stesso risultato... dai una occhiata anche te.

[cenzo1]

"Umby":Con f ho indicato le bimbe, la riga 6 (in rosso) è quella del nostro quesito. Infatti 180 * 720 = 129.600

Ho confrontato la tua soluzione con la mia, sembra che portino lo stesso risultato... dai una occhiata anche te.

La formula che hai ottenuto $(f-2)*(f-1)*f!*(f+3)$ c'è l'ho scritta anche io sul mio A4!!!

(Ci sono arrivato manipolando una precedente espressione, che ho "notato" sui dati numerici: $(3+f)!-3!*f!*(3+f)*f$ - diciamo che ho visto il legame sui casi sfavorevoli).

E' stato a partire da quella tua espressione che poi ho generalizzato al caso $m$ maschietti.

[Umby2]

[cenzo1]

"Umby"::smt023

Nice job!

Ora resterebbe da spiegare il perchè della formula... su questo sono in alto mare, magari ci ritorno domani
Notte!

PS: su questi problemi combinatori ho spesso il primo impulso a trovare prima la formula (aiutandomi con Excel e con R) e poi "spiegarla" con logica. Capita anche a voi ?