Problema dei 4 investimenti

[incredibili33]

ciao
avrei bisogno di un aiuto per risolvere un problema di analisi combinatoria.
Il testo dice:
si dispone di un capitale di 20000 euro e di 4 possibili investimenti.Ogni investimento deve consistere in un numero intero di migliaia di euro, i 4 investimenti richiedono inoltre un investimento minimo rispettivamente di 2,2,3 e 4 mila euro. Quante sono le strategie possibili se
(a) si deve investire in ognuno delle 4 opportunità;
(b) si deve investire in almeno 3 delle 4 opportunità?

Qualcuno mi potrebbe dare qualche spunto? Ho provato a impostare un'equazione con 4 variabili ma mi sono arenata
Anna

[superpippone]

Hai un capitale (in migliaia) di $20$.
Ne hai "bloccati" $2+2+3+4=11$.
Te ne restano a disposizione $20-11=9$
Devi vedere in quante maniere possibili puoi scomporre il 9 come somma di 4 addendi.

a)9-0-0-0 = 4
b)8-1-0-0 = 12
c)7-2-0-0 = 12
d)7-1-1-0 = 12
e)6-3-0-0 = 12
f)6-2-1-0 = 24
g)6-1-1-1 = 4
h)5-4-0-0 = 12
i)5-3-1-0 = 24
l)5-2-2-0 = 12
m)5-2-1-1 = 12
n)4-4-1-0 = 12
o)4-3-2-0 = 24
p)4-3-1-1 = 12
q)4-2-2-1 = 12
r)3-3-3-0 = 4
s)3-3-2-1 = 12
t)3-2-2-2 = 4

Facendo la somma $4+12+12+12+12+24+4+12+24+12+12+12+24+12+12+4+12+4=220$

Non so se esista un metodo più semplice.....

Per il secondo quesito procedi in maniera analoga

[axpgn]

Ho fatto lo stesso ... quando si deve partizionare un intero non credo esista qualcosa di più "diretto" ...

[nino_12]

"superpippone":Hai un capitale (in migliaia) di $20$.
Ne hai "bloccati" $2+2+3+4=11$.
Te ne restano a disposizione $20-11=9$

Quindi $C'(9,4) = (12!)/(3!*9!) = 220$

Ciao, Nino

[axpgn]

Potresti spiegarti meglio? Cos'è $C'$? "Combinazioni complementari" ?

Dato che i restanti $9$ non è detto che si debbano distribuire su tutti e quattro allora non saranno $ C(9,4) = 126$ ...

Cordialmente, Alex

[nino_12]

Combinazioni con ripetizione

$ C'(n,k) = (n+k-1,k)$

Nel caso i restanti $9$ si debbano distribuire su tutti e $4$ con minimo $1$, dovrebbe essere
$C' = (k-1,n-1) = 56$

Ciao, Nino

[superpippone]

La formula esatta delle combinazioni con ripetizione è:

$C'_(n,k)=((n+k-1)!)/(k!*(n-1)!)$

Nel nostro caso $C'_(4,9)=((4+9-1)!)/(9!*(4-1)!)$

Il problema è ricordarsela (cosa che non mi succede mai.......) e stabilire chi è $n$ e chi è $k$.

[incredibili33]

Grazie! ho capito la prima parte del problema (per risolvere considero l'equazione $x1+x2+x3+x4=9$
faccio un cambio di variabile per avere le soluzioni non negative, visto che qualche investimento potrebbe essere zero, e considero $y1+y2+y3+y4=9+4$, in numero le soluzioni \( C( 12 , 3 ) \)
Nella seconda parte del problema chiede di investire in almeno 3 delle 4 opportunità. Non so che capitale considerare impegnato

[axpgn]

"superpippone":... Il problema è ricordarsela (cosa che non mi succede mai.......) e stabilire chi è $n$ e chi è $k$. ...

Esattamente! Sottoscrivo tutto

[superpippone]

Se devi investire in 3, vuol dire che:
a) se trascuri il caso 1, te ne restano disponibili $20-2-3-4=11$
b) se trascuri il caso 2, te ne restano disponibili $20-2-3-4=11$
c) se trascuri il caso 3, te ne restano disponibili $20-2-2-4=12$
d) se trascuri il caso 4, te ne restano disponibili $20-2-2-3=13$

Ovviamente il resto disponibile va ripartito in 3 (e non 4) modi.
A quel che trovi, devi ovviamente aggiungere 220, visto che si parla di "....almeno 3...."

Alex.
Concordo con te: non ci capisco assai.
Però è così. E i conti tornano...

[incredibili33]

E' un mistero si
Il risultato del secondo punto è 572

[superpippone]

La formula funziona correttamente.

a) se usi tutti gli investimenti $C'_(4,9)=220$
b) se trascuri il primo $C'_(3,11)=78$
c) se trascuri il secondo $C'_(3,11)=78$
d) se trascuri il terzo $C'_(3,12)=91$
e) se trascuri il quarto $C'_(3,13)=105$

$220+78+78+91+105=572$

[incredibili33]

grazie!!!
mi dimenticavo di sommare i 220!
problemi del primo capitolo finiti grazie al vostro aiuto

[axpgn]

Che studi?

[incredibili33]

Matematica